# 이차부등식 분야: 대수 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D --- ## 정의 이차부등식이란 우변을 $0$으로 이항하여 정리했을 때 $$ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c\geq0,\quad ax^2+bx+c<0,\quad ax^2+bx+c\leq0$$ ($a, b, c$는 실수, $a\neq0$) 가운데 하나의 꼴로 나타낼 수 있는 부등식을 말한다. 이차방정식이 "언제 $0$이 되는가"를 묻는다면, 이차부등식은 "언제 $0$보다 큰가(또는 작은가)"를 묻는 문제다. ## 직관 이차부등식을 가장 쉽게 이해하는 방법은 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를 그려 보는 것이다. $ax^2+bx+c>0$의 해는 그래프가 $x$축보다 **위쪽**에 있는 구간의 $x$값들이고, $ax^2+bx+c<0$의 해는 그래프가 $x$축보다 **아래쪽**에 있는 구간의 $x$값들이다. 즉 이차부등식을 푼다는 것은 포물선과 $x$축의 위치 관계를 $x$값의 범위로 읽어내는 일이다. ## 풀이 원리 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식 $D=b^2-4ac$ 값에 따라 그래프와 $x$축의 관계가 달라진다. $a>0$인 경우를 기준으로 정리하면 다음과 같다. - $D>0$: 서로 다른 두 실근 $\alpha<\beta$를 가진다. $ax^2+bx+c>0$의 해는 $x<\alpha$ 또는 $x>\beta$, $ax^2+bx+c<0$의 해는 $\alpha0$의 해는 $x\neq\alpha$인 모든 실수, $ax^2+bx+c<0$의 해는 없다. - $D<0$: 실근이 없다(그래프가 $x$축과 만나지 않음). 이때 $ax^2+bx+c>0$의 해는 모든 실수, $ax^2+bx+c<0$의 해는 없다. $a<0$인 경우에는 양변에 $-1$을 곱해 $a>0$ 꼴로 바꾸고 위의 결과를 적용하면 된다. 이때 부등호의 방향이 반드시 바뀐다. ## 예시 **예시 1.** $x^2-5x+6>0$을 인수분해하면 $(x-2)(x-3)>0$. 두 인수의 곱이 양수이려면 둘 다 양수이거나($x>3$) 둘 다 음수여야($x<2$) 하므로 해는 $x<2$ 또는 $x>3$이다. **예시 2.** $x^2-4x+4\leq0$은 $(x-2)^2\leq0$. 제곱은 항상 $0$ 이상이므로 이 부등식이 성립하는 경우는 $(x-2)^2=0$, 즉 $x=2$뿐이다. **예시 3.** $x^2+x+1>0$에서 $D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$이고 $a=1>0$이므로, 이 이차식은 모든 실수 $x$에 대해 항상 양수다. 따라서 해는 모든 실수다. 그래프: y=x^2-5*x+6 (정의역 -1~6) 위 그래프에서 곡선이 $x$축 아래(즉 $y<0$)에 있는 구간이 바로 $x^2-5x+6<0$의 해, $x$축 위에 있는 구간이 $x^2-5x+6>0$의 해에 해당한다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **이차항 계수가 음수일 때 부등호를 그대로 두는 실수**: $-x^2+x+2>0$을 풀 때 양변에 $-1$을 곱해 $x^2-x-2<0$으로 바꿔야 하는데, 부등호 방향을 바꾸지 않고 그대로 $x^2-x-2>0$으로 풀어버리면 해가 정반대로 나온다. 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반드시 뒤집힌다. - **$D<0$이면 무조건 "해가 없다"고 단정하는 실수**: $D<0$은 이차방정식이 실근을 갖지 않는다는 뜻일 뿐, 이차부등식의 해가 없다는 뜻은 아니다. $a>0, D<0$이면 $ax^2+bx+c>0$의 해는 오히려 **모든 실수**이고, $ax^2+bx+c<0$일 때만 해가 없다. 부등호 방향과 $a$의 부호를 함께 봐야 한다. - **$(x-\alpha)(x-\beta)>0$을 풀 때 한 경우만 고려하는 실수**: 두 인수의 곱이 양수라는 조건에서 "$x>\alpha$이고 $x>\beta$"인 경우만 떠올리고, "$x<\alpha$이고 $x<\beta$"인 경우를 빠뜨려 해의 절반을 놓친다. ## 확인 문제 1. $x^2-x-6<0$의 해를 구하여라. 2. $x^2-6x+9\geq0$의 해를 구하여라. 3. $2x^2-x+3>0$의 해를 구하여라. (단, 이 이차식의 판별식을 먼저 확인할 것) 정답 보기: 1. $(x-3)(x+2)<0$이므로 두 인수의 부호가 서로 달라야 한다. 해는 $-20$이므로 이 이차식은 항상 양수다. 해는 모든 실수. ## 관련 개념 - 이차방정식 — 이차부등식의 경계가 되는 근을 구하는 도구 - 판별식 — 근의 개수와 부등식 해의 형태를 결정 - 인수분해 — 부등식을 곱 꼴로 바꿔 부호를 판단하는 핵심 기법 - 이차함수 — 그래프로 부등식의 해를 시각적으로 이해하는 바탕 - 일차부등식 — 더 단순한 형태의 부등식으로, 이차부등식 풀이의 기초 - 부등식의 영역 — 이차부등식을 좌표평면 위의 영역으로 확장한 개념 --- 관련 개념: - 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98) - 판별식 (/wiki/math/%ED%8C%90%EB%B3%84%EC%8B%9D) - 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4) - 일차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 부등식의 영역 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EC%98%81%EC%97%AD)