# 소인수분해 분야: 대수 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%86%8C%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4 --- ## 정의 **소인수분해**란 1보다 큰 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것이다. 이때 곱해진 각각의 소수를 그 수의 **소인수**라고 한다. 예를 들어 $12 = 2 \times 2 \times 3$이므로, $12$의 소인수분해는 $2 \times 2 \times 3$이고, $12$의 소인수는 $2$와 $3$이다. 보통은 같은 소인수를 거듭제곱으로 묶어서 $12 = 2^2 \times 3$($2$의 제곱 곱하기 $3$이라 읽는다. 여기서 $2^2$의 $2$를 밑, 위에 작게 쓴 $2$를 지수라 한다)와 같이 나타낸다. ## 직관 합성수는 여러 소수가 '조합'되어 만들어진 수라고 생각할 수 있다. 마치 모든 정수는 소수라는 더 이상 쪼갤 수 없는 "재료"로 만들어진 셈이다. 소인수분해는 이 재료 구성을 알아내는 과정이다. 한 자연수를 소인수분해하는 방법(순서에 상관없이 소수로만 곱해지도록 나눈다면)은 재료의 배합이 오직 하나로 정해진다는 뜻이며, 이를 **산술의 기본 정리**라고 부른다. 이 성질 덕분에 소인수분해는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 가장 확실한 방법이 된다. ## 소인수분해 하는 방법 가장 작은 소수부터 차례로 나누어 가는 것이 편리하다. 몫이 더 이상 나누어지지 않는 소수가 될 때까지 반복한다. 1. 주어진 수를 가장 작은 소수 $2$로 나누어지는지 확인한다. 2. 나누어지면 몫을 다시 가장 작은 소수부터 나눈다. 3. 몫이 $1$이 될 때까지 반복한 뒤, 나눈 소수들을 모두 곱한 꼴로 쓰고 같은 소인수는 거듭제곱으로 정리한다. ## 예시 $60$을 소인수분해해 보자. $$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$$ 또 다른 예로 $84$는 다음과 같다. $$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$$ 소인수분해를 알면 약수도 쉽게 찾을 수 있다. $12 = 2^2 \times 3$의 약수는 $2^2$의 약수($1, 2, 4$)와 $3$의 약수($1, 3$)를 각각 골라 곱한 것들이므로 $1, 2, 3, 4, 6, 12$이다. ## 🌍 실생활 예시 암호학의 한 방식인 RSA 암호는 아주 큰 합성수를 소인수분해하기가 매우 어렵다는 사실을 이용한다. 두 개의 큰 소수를 곱해 하나의 큰 수(공개키)를 만들면, 그 수만 보고 원래 두 소수를 알아내는 데 매우 오랜 시간이 걸리기 때문에 안전한 암호로 쓸 수 있다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 나누어떨어지기만 하면 아무 수로나 나누어도 된다. → **왜 틀렸는지**: $4$나 $6$처럼 합성수로 나누면 소인수분해가 아니다. 예를 들어 $24 = 4 \times 6$은 맞는 곱셈식이지만 $4$와 $6$은 소수가 아니므로 소인수분해가 끝난 것이 아니다. 계속 나누어 $24 = 2^3 \times 3$까지 가야 한다. - **잘못된 생각**: $1$도 소인수가 될 수 있다. → **왜 틀렸는지**: $1$은 소수도 합성수도 아니므로 소인수가 될 수 없다. 어떤 수를 $1$로 나누는 것은 의미가 없으므로 소인수분해 과정에서 제외한다. - **잘못된 생각**: $2^2 \times 3$과 $2 \times 2 \times 3$은 다른 소인수분해다. → **왜 틀렸는지**: 거듭제곱은 같은 소인수를 편하게 묶어 쓴 표현일 뿐, 실제로는 같은 곱셈식이다. 소인수분해의 결과는 곱하는 순서나 표기법에 상관없이 단 하나로 정해진다. ## 확인 문제 1. $72$를 소인수분해하시오. 2. $2^3 \times 3^2$과 $2^2 \times 3^3$을 각각 계산해서 어떤 자연수인지 구하시오. 3. $18$의 소인수분해를 이용하여 $18$의 약수를 모두 구해 보고, 왜 소인수분해로 약수를 다 찾을 수 있는지 설명해 보시오. 정답 보기: 1. $72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^3 \times 3^2$ 2. $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$, $2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$ 3. $18 = 2 \times 3^2$이므로 $2$의 약수($1, 2$)와 $3^2$의 약수($1, 3, 9$)를 각각 골라 곱하면 $1, 2, 3, 6, 9, 18$이 된다. 약수는 소인수들을 몇 개씩 골라 곱한 수이므로, 소인수분해 결과만 알면 어떤 조합으로 곱해도 약수가 되고 그 조합을 빠짐없이 나열하면 모든 약수를 구할 수 있다. ## 관련 개념 - 소수와 합성수 — 소인수분해의 재료가 되는 수 - 약수와 배수 — 소인수분해로 약수를 모두 찾을 수 있다 - 거듭제곱 — 같은 소인수를 반복해서 곱할 때 사용하는 표기 - 최대공약수와 최소공배수 — 소인수분해를 이용해 구하는 대표적인 활용 - 인수분해 — 자연수 대신 다항식을 곱의 꼴로 나타내는 확장된 개념 --- 관련 개념: - 소수와 합성수 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%99%80_%ED%95%A9%EC%84%B1%EC%88%98) - 최대공약수와 최소공배수 (/wiki/math/%EC%B5%9C%EB%8C%80%EA%B3%B5%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EC%B5%9C%EC%86%8C%EA%B3%B5%EB%B0%B0%EC%88%98) - 약수와 배수 (/wiki/math/%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EB%B0%B0%EC%88%98) - 거듭제곱 (/wiki/math/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1) - 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)