삼각비
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삼각형 (초등)정의
직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각의 크기가 정해지면, 그 각을 기준으로 세 변의 길이의 비가 항상 일정하게 정해진다. 이 비를 삼각비라고 한다.
직각삼각형에서 예각 $A$($A$는 각의 이름, "각 에이"라고 읽는다)를 기준으로 세 변을 다음과 같이 부른다.
- 빗변: 직각과 마주 보는 가장 긴 변
- 대변: 각 $A$와 마주 보는 변
- 밑변: 각 $A$와 빗변을 제외한 나머지 변
이때 세 가지 삼각비를 다음과 같이 정의한다.
$$\sin A = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}, \qquad \cos A = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}, \qquad \tan A = \frac{\text{대변}}{\text{밑변}}$$
$\sin A$(사인 A), $\cos A$(코사인 A), $\tan A$(탄젠트 A)라고 읽는다.
직관
같은 크기의 각을 가진 직각삼각형은 크기가 달라도 모두 닮은 도형이다. 닮은 도형에서는 대응변의 비율이 항상 같으므로, 각의 크기만 정해지면 삼각형이 아무리 크거나 작아도 변들의 비율(삼각비)은 절대 변하지 않는다. 즉 삼각비는 "이 각이 얼마나 기울어졌는지"를 숫자 하나로 나타낸 값이라고 생각하면 된다. 각이 커질수록 대변에 비해 빗변이 상대적으로 짧아지므로 $\sin A$는 커지고, 반대로 밑변이 짧아지므로 $\cos A$는 작아진다.
성질
- 예각 $A$에 대해 $0 < \sin A < 1$, $0 < \cos A < 1$이다. (대변과 밑변은 항상 빗변보다 짧기 때문)
- $\tan A$는 0보다 크며, 각이 90°에 가까워질수록 얼마든지 커질 수 있다.
- $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$
- 피타고라스 정리에 의해 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ ($\sin^2 A$는 $(\sin A)^2$을 뜻한다)
특수각의 삼각비
| 각 |
$30°$ |
$45°$ |
$60°$ |
| $\sin$ |
$\frac12$ |
$\frac{\sqrt2}{2}$ |
$\frac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos$ |
$\frac{\sqrt3}{2}$ |
$\frac{\sqrt2}{2}$ |
$\frac12$ |
| $\tan$ |
$\frac{\sqrt3}{3}$ |
$1$ |
$\sqrt3$ |
($\sqrt{2}$는 "루트 2"라고 읽으며, 제곱하면 2가 되는 양수를 뜻한다)
예시
세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형에서 길이 4, 5인 두 변 사이의 각을 $A$라고 하자. 이때 $A$와 마주 보는 대변은 3, 밑변은 4, 빗변은 5이므로
$$\sin A = \frac{3}{5} = 0.6, \qquad \cos A = \frac{4}{5} = 0.8, \qquad \tan A = \frac{3}{4} = 0.75$$
🌍 실생활 예시
건물이나 나무처럼 직접 잴 수 없는 높이를 잴 때 삼각비를 사용한다. 나무에서 20 m 떨어진 곳에 서서 나무 꼭대기를 올려다본 각(앙각)이 30°이고, 눈높이가 1.5 m라면 나무의 높이는
$$20 \times \tan 30° + 1.5 = 20 \times \frac{\sqrt3}{3} + 1.5 \approx 20 \times 0.577 + 1.5 \approx 13.04\text{ m}$$
로 계산할 수 있다. 실제로 측량이나 건축 현장에서 각도계와 삼각비를 이용해 높이나 거리를 구하는 방식이다.
⚠️ 흔한 실수
- 대변·밑변이 항상 고정된 변이라고 착각한다 → 대변과 밑변은 "어느 각을 기준으로 보는가"에 따라 달라진다. 같은 직각삼각형이라도 각 $A$의 대변이 각 $B$에서는 밑변이 될 수 있으므로, 항상 기준이 되는 각을 먼저 확인해야 한다.
- 빗변을 구할 때 두 변을 그냥 더한다 → $\sqrt{3^2+4^2}$을 $3+4=7$로 계산하는 실수다. 빗변은 피타고라스 정리에 따라 $\sqrt{3^2+4^2}=5$이지, 두 변의 합이 아니다.
- 모든 삼각비가 1보다 작다고 오해한다 → $\sin A$, $\cos A$는 항상 1보다 작지만, $\tan A$는 각이 45°보다 크면 1보다 커질 수 있다(예: $\tan 60° = \sqrt3 \approx 1.73$).
확인 문제
- 직각삼각형의 세 변이 6, 8, 10일 때, 길이 6인 변과 마주 보는 각을 $A$라고 하자. $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$를 각각 구하시오.
- 밑변이 4, 높이가 4인 직각삼각형과, 밑변이 8, 높이가 8인 직각삼각형이 있다. 두 삼각형에서 밑변과 높이 사이의 각을 각각 구해 삼각비 $\tan$ 값을 비교해 보고, 왜 삼각형의 크기가 달라도 값이 같은지 설명하시오.
- 지면과 15°의 각도로 놓인 미끄럼틀의 경사면 길이가 5 m일 때, 미끄럼틀의 높이(지면으로부터 꼭대기까지의 수직 거리)를 삼각비를 이용해 나타내는 식을 세우시오. (계산 값은 몰라도 식만 세워도 된다)
정답 보기
- 대변 6, 밑변 8, 빗변 10이므로 $\sin A = \frac{6}{10}=0.6$, $\cos A=\frac{8}{10}=0.8$, $\tan A=\frac{6}{8}=0.75$.
- 두 삼각형 모두 밑변과 높이가 같으므로($4:4$와 $8:8$) 각은 둘 다 45°이고 $\tan 45° = 1$로 동일하다. 두 삼각형은 서로 닮음이라서 크기만 다르고 변의 비율(삼각비)은 같기 때문이다.
- 높이는 빗변(경사면)과 각 사이의 대변이므로 $\text{높이} = 5 \times \sin 15°$ (m).
관련 개념