삼각형 $ABC$($\triangle ABC$, "삼각형 에이비씨"라 읽는다)에서 각 $A$, $B$, $C$의 대변(마주보는 변)의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하고, 이 삼각형의 외접원(세 꼭짓점을 모두 지나는 원)의 반지름을 $R$이라 하면 다음이 성립한다.
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
즉, 한 각의 대변의 길이를 그 각의 사인값으로 나눈 값은 세 각 어느 것을 골라도 항상 같고, 그 값은 외접원 지름 $2R$과 같다. 이를 사인법칙이라 한다.
왜 세 비율이 전부 같은 값이 될까? 핵심은 원주각에 있다. 같은 호에 대한 원주각의 크기는 어디서 재도 같다는 원주각의 성질 덕분에, 외접원 위에서 각 변을 지름과 비교하면 항상 같은 비율이 나온다. 극단적인 경우로 지름을 한 변으로 하는 직각삼각형을 생각하면, 빗변이 곧 지름 $2R$이고 마주보는 각의 사인값이 자연스럽게 $\dfrac{\text{변}}{2R}$의 관계를 만들어낸다. 사인법칙은 이 관계가 삼각형의 어느 변-각 짝을 골라도 성립함을 보장해 주는 도구다.
실전에서는 "각을 알면 변을, 변을 알면 각을 구할 수 있는 다리" 역할을 한다. 특히 두 각과 한 변, 또는 한 각과 그 대변 및 다른 변을 알 때 나머지를 구하는 데 쓰인다.
이미 아는 것부터 시작하자: 원주각의 성질에 따르면 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 특히 지름에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$다. 이 두 사실만으로 사인법칙을 끌어낼 수 있다.
삼각형 $ABC$의 외접원(중심 $O$, 반지름 $R$)을 그리고, 꼭짓점 $B$에서 중심 $O$를 지나는 지름을 그어 원과 만나는 점을 $B'$이라 하자.
이제 삼각형 $BCB'$을 보면, $BB'$이 외접원의 지름이므로 지름에 대한 원주각의 성질에 의해
$$\angle BCB' = 90^\circ$$
이다. 즉 삼각형 $BCB'$은 $C$에서 직각인 직각삼각형이고, 빗변은 $BB'=2R$이다.
한편 $\angle A$와 $\angle B'$은 둘 다 같은 호 $BC$에 대한 원주각이므로
$$\angle B' = \angle A$$
가 성립한다. (단, $B'$이 $A$와 같은 쪽 호 위에 있는지에 따라 $\angle B' = \angle A$ 또는 $\angle B'=180^\circ-\angle A$가 되는데, 어느 경우든 $\sin B' = \sin A$는 항상 성립한다.)
직각삼각형 $BCB'$에서 빗변 $BB'$에 대한 대변은 $BC=a$이므로
$$\sin B' = \frac{a}{BB'} = \frac{a}{2R}$$
그런데 $\sin B' = \sin A$이므로
$$\sin A = \frac{a}{2R} \;\Longrightarrow\; \frac{a}{\sin A} = 2R$$
을 얻는다. 꼭짓점 $C$와 $A$에서도 각각 지름을 그어 똑같은 논리를 반복하면
$$\frac{b}{\sin B} = 2R, \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R$$
도 같은 방식으로 얻어진다. 세 식의 우변이 모두 같은 $2R$이므로
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
이 성립한다. 이것이 사인법칙이 굳이 "변 나누기 사인"의 모양을 하고 있는 이유이며, 그 공통값이 다름 아닌 외접원의 지름인 이유다.
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \;\Rightarrow\; b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\times \frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=8\times\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=4\sqrt6$$
$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\frac12}=12 \;\Rightarrow\; R=6$$
측량에서 강 건너편처럼 직접 거리를 잴 수 없는 두 지점 사이의 거리를 구할 때 사인법칙을 쓴다. 이쪽 강변의 두 지점 사이 거리(기선)를 재고, 각 지점에서 건너편 목표 지점을 바라보는 각을 측정하면, 삼각형의 한 변과 두 각을 알게 된다. 이때 사인법칙으로 나머지 변의 길이, 즉 건너지 못하는 거리를 계산할 수 있다. 이런 방식은 삼각측량(triangulation)의 기본 원리로 지도 제작이나 항법에서 실제로 쓰인다.
잘못된 생각: $\dfrac{\sin A}{a}=2R$이라고 외운다. 왜 틀렸는가: 사인법칙의 상수항은 변을 사인값으로 나눈 $\dfrac{a}{\sin A}$이지, 그 역수가 아니다. 역수를 취하면 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{1}{2R}$이 되어 값 자체가 다르다.
잘못된 생각: 두 변과 그 끼인각이 아닌 각(SSA, 예: $a$, $b$, $A$)이 주어졌을 때 사인법칙으로 계산한 각 $B$ 하나만 답이라고 생각한다. 왜 틀렸는가: $\sin B$ 값이 나오면 $B$는 예각일 수도 둔각($180^\circ-B$)일 수도 있다. 이른바 '모호한 경우(SSA)'로, 조건에 따라 삼각형이 두 개 존재할 수 있어 반드시 삼각형의 각의 합이 $180^\circ$를 넘지 않는지 확인해야 한다.
잘못된 생각: 두 변과 그 끼인각(SAS)이나 세 변(SSS)이 주어져도 사인법칙부터 적용하려 한다. 왜 틀렸는가: 사인법칙은 변-각의 대응 쌍 중 하나를 온전히 알아야 비율을 세울 수 있다. SAS나 SSS처럼 대응하는 각을 전혀 모르는 경우엔 코사인법칙을 먼저 써서 변이나 각을 구한 뒤에야 사인법칙을 쓸 수 있다.
사인법칙은 천문학에서 별이나 행성의 위치, 방향을 계산하던 문제에서 다듬어졌다. 삼각형의 몇몇 변과 각만 측정할 수 있을 때 나머지 요소를 구할 방법이 필요했기 때문이다. 13세기 페르시아의 수학자·천문학자 나시르 앗딘 알투시는 평면삼각형과 구면삼각형 모두에 대해 이 관계를 명시적으로 정리했다고 알려져 있다. 이후 15세기 유럽에서 레기오몬타누스가 저서 「De Triangulis Omnimodis」를 통해 삼각형의 변과 각을 다루는 이론으로 체계화하면서 유럽 삼각법의 토대가 되었다. 측정 가능한 값(각 몇 개, 변 하나)에서 측정 불가능한 값(나머지 변이나 각)으로 건너가는 이 다리 역할 덕분에, 사인법칙은 이후 측량과 항법 계산에 실용적으로 쓰이게 되었다.