# 복소수의 극형식 분야: 대수 학교급: 고등 교육과정: 3차~6차 (7차에서 삭제) 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%98%95%EC%8B%9D --- > 이 개념은 3차 교육과정부터 6차 교육과정까지 고등학교 수학에서 다루어졌으며, 7차 교육과정 이후로는 교육과정에서 삭제되었다. ## 정의 복소수 $z = a+bi$($a, b$는 실수, $i$는 허수단위로 $i^2=-1$을 만족한다)를 복소평면 위의 점 $(a, b)$로 나타낼 때, 원점에서 이 점까지의 거리를 $$r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$$ 라 하고, 이를 $z$의 **절댓값**(모듈러스)이라 한다. 또 양의 실수축과 원점에서 점 $(a,b)$로 향하는 반직선이 이루는 각 $\theta$를 $z$의 **편각**이라 하며 $\theta = \arg z$($z$의 아그, argument)로 쓴다. 이때 $$\cos\theta = \frac{a}{r}, \qquad \sin\theta = \frac{b}{r}$$ 이 성립하므로, 복소수 $z$는 $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ 로 나타낼 수 있다. 이 표현을 $z$의 **극형식**이라 한다. 편각 $\theta$는 $2\pi$(또는 $360°$)의 정수배만큼 차이 나는 값이 모두 가능하므로, 보통 $0 \le \theta < 2\pi$인 값을 대표로 택한다. ## 직관 직교좌표 $(a,b)$가 "가로로 얼마, 세로로 얼마 이동했는가"를 말해준다면, 극형식 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$는 "원점에서 얼마나 멀리($r$), 어느 방향으로($\theta$)"를 말해준다. 같은 점을 다른 언어로 설명하는 셈이다. 이 표현이 강력한 이유는 곱셈에 있다. 두 복소수 $z_1 = r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$의 곱을 삼각함수의 덧셈정리로 전개하면 $$z_1 z_2 = r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$$ 이 된다. 즉 복소수의 곱셈은 **절댓값끼리는 곱하고, 편각끼리는 더하는** 연산이다. 직교좌표로는 곱셈이 "이상한 사칙연산 뒤섞임"처럼 보이지만, 극형식으로 보면 "크기는 곱하고 회전은 더한다"는 아주 단순한 기하학적 그림이 된다. ## 성질 - 곱셈: $z_1 z_2 = r_1 r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$ - 나눗셈($z_2 \ne 0$): $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$ - 거듭제곱은 드무아브르의 정리로 이어진다: $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ ## 예시 $z = 1+i$의 극형식을 구해 보자. $a=1, b=1$이므로 $$r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, \qquad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt2},\ \sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}$$ 따라서 $\theta = 45° \left(=\dfrac{\pi}{4}\right)$이고, $$1+i = \sqrt2\left(\cos45°+i\sin45°\right)$$ 또 다른 예로 $z=-\sqrt3+i$는 $r=\sqrt{3+1}=2$, $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\theta=\dfrac12$이므로 $\theta=150°$, 즉 $$-\sqrt3+i = 2(\cos150°+i\sin150°)$$ 이제 $z_1=\sqrt2(\cos45°+i\sin45°)$와 $z_2=2(\cos150°+i\sin150°)$를 곱하면 직교좌표로 전개하지 않고도 $$z_1z_2 = 2\sqrt2\{\cos195°+i\sin195°\}$$ 임을 바로 알 수 있다. ## 🌍 실생활 예시 교류 전기 회로 해석에서는 전압과 전류를 복소수로 나타내는데, 크기(진폭)와 위상차(시간 지연)를 함께 다뤄야 하므로 극형식이 자연스럽게 쓰인다. 저항, 코일, 콘덴서를 지날 때 전압과 전류 사이에 위상이 얼마나 밀리는지를 편각으로, 세기의 변화를 절댓값으로 표현하면 회로의 곱셈·나눗셈 계산이 단순한 각도 덧셈·뺄셈으로 바뀌어 계산이 훨씬 쉬워진다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 편각을 구할 때 $\theta = \tan^{-1}\dfrac{b}{a}$ 값만 계산하고 끝낸다. **왜 틀렸는가**: $\tan^{-1}$은 항상 $-90°$에서 $90°$ 사이의 값만 주므로, 점 $(a,b)$가 어느 사분면에 있는지 확인하지 않으면 각이 어긋난다. 예를 들어 $z=-1-i$는 $\dfrac{b}{a}=1$이라서 $\tan^{-1}1=45°$로 착각하기 쉽지만, 실제 점은 3사분면에 있으므로 편각은 $225°$이다. - **잘못된 생각**: 절댓값을 $r=a+b$처럼 그냥 두 성분의 합으로 계산한다. **왜 틀렸는가**: 절댓값은 원점에서의 거리이므로 피타고라스 정리에 따라 $r=\sqrt{a^2+b^2}$이어야 한다. $z=3+4i$라면 $r=7$이 아니라 $r=\sqrt{9+16}=5$이다. - **잘못된 생각**: 극형식을 쓸 때 $\cos\theta+i\sin\theta$만 적고 앞의 $r$을 빠뜨린다. **왜 틀렸는가**: $\cos\theta+i\sin\theta$는 항상 절댓값이 $1$인 복소수(단위원 위의 점)만 나타낸다. 원래 복소수의 크기 정보는 $r$이 담고 있으므로, $r$을 빠뜨리면 서로 다른 복소수를 같은 것으로 표현하는 오류가 생긴다. ## 확인 문제 1. $z=1-i$를 극형식 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$로 나타내어라. 2. $z_1=2+2i$, $z_2=-1+\sqrt3 i$를 각각 극형식으로 바꾼 뒤, 극형식끼리 곱해 $z_1z_2$의 편각을 구하라. 그리고 $z_1, z_2$를 직교좌표 그대로 곱한 결과와 절댓값·편각이 일치하는지 확인해 보라. 이 과정을 통해 "복소수의 곱셈이 회전과 확대의 합성"이라는 말이 왜 성립하는지 설명해 보라. 3. $z=4(\cos60°+i\sin60°)$를 $a+bi$ 꼴로 나타내어라. 정답 보기: 1. $r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$, $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}$이므로 $\theta=315°$. 따라서 $1-i=\sqrt2(\cos315°+i\sin315°)$. 2. $z_1=2\sqrt2(\cos45°+i\sin45°)$, $z_2=2(\cos120°+i\sin120°)$이므로 극형식으로 곱하면 절댓값 $4\sqrt2$, 편각 $165°$가 된다. 직교좌표로 직접 곱해도 $z_1z_2=(2+2i)(-1+\sqrt3i)=(-2-2\sqrt3)+(2\sqrt3-2)i$가 나오고, 이 점의 절댓값과 편각을 계산하면 정확히 $4\sqrt2$, $165°$와 일치한다. 즉 곱셈은 "두 회전을 이어 붙이고 두 크기를 곱하는" 하나의 기하학적 동작임을 알 수 있다. 3. $a=4\cos60°=2$, $b=4\sin60°=2\sqrt3$이므로 $z=2+2\sqrt3i$. ## 관련 개념 - 복소수 — 극형식이 표현하는 대상 - 복소평면 — 극형식을 시각화하는 좌표계 - 삼각함수 — $\cos\theta, \sin\theta$의 정의 - 드무아브르의 정리 — 극형식을 이용한 거듭제곱·거듭제곱근 계산 --- 관련 개념: - 복소평면 (/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%ED%8F%89%EB%A9%B4) - 드무아브르의 정리 (/wiki/math/%EB%93%9C%EB%AC%B4%EC%95%84%EB%B8%8C%EB%A5%B4%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC) - 복소수 (/wiki/math/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98) - 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98)