# 단항식과 다항식의 계산

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0

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## 정의

**단항식**(單項式)은 수와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말한다. 예를 들어 $3x$, $-5xy^2$, $7$처럼 덧셈이나 뺄셈 기호 없이 곱으로만 연결된 식이다. 이때 문자 앞에 곱해진 수를 **계수**, 문자가 곱해진 개수(지수의 합)를 그 단항식의 **차수**라고 한다. 예를 들어 $-5xy^2$는 계수가 $-5$, 차수는 $x$가 1번 $y$가 2번 곱해져 있으므로 $1+2=3$이다.

**다항식**(多項式)은 단항식이 덧셈이나 뺄셈으로 여러 개 연결된 식이다. 예를 들어 $2x^2 + 3x - 5$는 $2x^2$, $3x$, $-5$라는 세 단항식(이를 **항**이라 한다)의 합으로 이루어져 있다. 다항식의 차수는 그 안에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다.

문자와 지수가 완전히 같은 항끼리는 **동류항**(同類項)이라 부르며, 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다.

## 직관

단항식과 다항식의 계산은 결국 "같은 종류끼리만 모아서 계산한다"는 규칙 하나로 요약된다. 사과 $3$개와 배 $2$개를 더해도 "사과+배 $5$개"라고 뭉뚱그려 쓸 수 없듯이, $x$와 $x^2$은 겉모습은 비슷해 보여도 서로 다른 종류의 양이라서 $3x + 2x^2$을 하나의 항으로 합칠 수 없다. 반면 $x$끼리, $x^2$끼리는 같은 종류이므로 개수(계수)만 더하면 된다.

곱셈은 조금 다르다. $x \times x$는 $x$가 2번 곱해진 것이므로 $x^2$이 되어, 곱셈에서는 오히려 지수가 늘어난다는 점을 기억해야 한다.

## 성질 (계산 규칙)

**덧셈·뺄셈**: 동류항의 계수끼리만 더하거나 뺀다.
$$3x + 2x = (3+2)x = 5x, \qquad 4x^2 - x^2 = (4-1)x^2 = 3x^2$$

**단항식의 곱셈**: 계수는 계수끼리 곱하고, 같은 문자는 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$($a$의 $m$제곱 곱하기 $a$의 $n$제곱은 $a$의 $(m+n)$제곱)을 이용해 지수를 더한다.
$$(2x^2) \times (3x^3) = (2\times 3)\times x^{2+3} = 6x^5$$

**다항식과 단항식의 곱셈**: 분배법칙 $a(b+c) = ab+ac$를 이용해 단항식을 다항식의 모든 항에 각각 곱한다.
$$2x(x+3) = 2x\times x + 2x\times 3 = 2x^2 + 6x$$

## 예시

1. $5x^2y - 3xy^2 + 2x^2y = (5+2)x^2y - 3xy^2 = 7x^2y - 3xy^2$ ($x^2y$끼리만 동류항이므로 합쳐지고 $xy^2$은 그대로 남는다.)

2. $(-2x)^3 = (-2)^3 \times x^3 = -8x^3$ (계수와 문자에 각각 지수를 적용한다.)

3. $-x(3x - 4) = -x\times 3x - x\times(-4) = -3x^2 + 4x$


그래프: y=2*x^2+6*x (정의역 -5~3)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $3x + 2x^2$을 계산하면 $5x^3$이다. → **왜 틀렸는가**: 덧셈에서는 지수를 더하지 않는다. $x$와 $x^2$은 차수가 달라 동류항이 아니므로 애초에 하나의 항으로 합칠 수 없다. 답은 그대로 $2x^2+3x$이다.

- **잘못된 생각**: $x^2 \times x^3 = x^6$이다. → **왜 틀렸는가**: 곱셈에서는 지수를 곱하는 것이 아니라 더한다. $x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5$가 되어야 하며, $x^6$은 $(x^2)^3$을 계산할 때 나오는 결과와 혼동한 것이다.

- **잘못된 생각**: $-(2x-3) = -2x - 3$이다. → **왜 틀렸는가**: 앞의 $-$부호는 괄호 안 모든 항에 곱해져야 한다. $-1\times 2x = -2x$, $-1\times(-3) = +3$이므로 $-(2x-3) = -2x+3$이 옳다.

## 확인 문제

1. $4a^2b - a^2b + 3ab^2$을 간단히 하시오.
2. $(-3x^2) \times (2x^4)$을 계산하시오.
3. $3x(2x - 5)$를 전개하시오.

정답 보기:

1. $a^2b$끼리만 동류항: $(4-1)a^2b + 3ab^2 = 3a^2b + 3ab^2$
2. 계수 $(-3)\times2=-6$, 문자 $x^2\times x^4 = x^{2+4}=x^6$이므로 $-6x^6$
3. 분배법칙: $3x\times2x + 3x\times(-5) = 6x^2 - 15x$



## 관련 개념

- 문자와 식 — 문자를 이용해 식을 나타내는 기초 개념
- 지수 — 곱셈에서 지수를 더하는 지수법칙의 근거
- 일차식의 계산 — 가장 간단한 형태(1차)의 단항식·다항식 계산
- 다항식 — 단항식과 다항식의 성질을 더 깊이 다루는 개념
- 곱셈 공식, 인수분해 — 다항식의 곱셈을 확장·역으로 활용하는 후속 개념

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관련 개념:
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 지수 (/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98)
- 일차식의 계산 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D)
- 곱셈 공식 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88_%EA%B3%B5%EC%8B%9D)
- 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)