# 급수 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EA%B8%89%EC%88%98 --- > 이 개념은 수열의 모든 항을 더한 식과 그 합의 수렴·발산을 다룬다. ## 정의 수열 $\{a_n\}$의 각 항을 차례로 덧셈 기호로 연결한 식 $$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$$ 을 **급수**라 하고, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ($\sum$은 시그마라 읽으며, $n$이 $1$부터 $\infty$(무한대)까지 변하는 항을 모두 더한다는 뜻이다)로 나타낸다. 급수의 첫째 항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$을 이 급수의 **부분합**이라 한다. 수열 $\{S_n\}$이 어떤 값 $S$로 수렴하면, 즉 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S$이면 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 $S$에 **수렴**한다고 하고, $S$를 이 급수의 합이라 한다. $\{S_n\}$이 발산하면 급수도 **발산**한다고 한다. ## 직관 급수는 "끝없이 더하기"다. 끝없이 더하는데 유한한 값에 다가갈 수 있다는 게 이상하게 느껴질 수 있는데, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 절반씩 계속 나누어 칠한다고 생각하면 된다. $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$처럼 매번 남은 부분의 절반만 더해 가면, 아무리 더해도 전체 넓이 $1$을 넘지 못하고 $1$에 한없이 가까워진다. 급수의 수렴은 바로 이 "부분합이 특정 값에 다가가는 상태"를 뜻하며, 급수 자체가 아니라 부분합으로 이루어진 새로운 수열 $\{S_n\}$의 극한을 보는 것이 핵심이다. ## 성질 **등비급수**: 첫째항 $a$ ($a\neq0$), 공비 $r$인 등비수열의 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$은 - $|r|<1$이면 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{a}{1-r}$ - $|r|\geq 1$이면 발산한다. **수렴의 필요조건**: 급수 $\sum a_n$이 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이다. 단, 역은 성립하지 않는다 (아래 흔한 실수 참고). **선형성**: 두 급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$이 각각 수렴하면 $\sum(a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$이고, 상수 $k$에 대해 $\sum ka_n = k\sum a_n$이다. ## 예시 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} = 1+\frac12+\frac14+\cdots$은 $a=1$, $r=\frac12$이고 $|r|<1$이므로 수렴하며, 합은 $\dfrac{1}{1-\frac12}=2$이다. 반면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n = 1+\frac12+\frac13+\cdots$ (조화급수)은 $a_n=\frac1n \to 0$이지만 부분합이 한없이 커져 발산한다. 부분합이 특정 값에 다가가는 모습은 그래프로도 확인할 수 있다. 아래는 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}$의 부분합을 연속변수로 근사한 함수 $S(x)=\dfrac{1-0.5^x}{1-0.5}$의 그래프로, $x$가 커질수록 $2$에 가까워짐을 보여준다. 그래프: y=(1-0.5^x)/(1-0.5) (정의역 0~10) ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: "$a_n\to 0$이면 급수 $\sum a_n$은 항상 수렴한다." → **왜 틀렸는가**: $\lim a_n=0$은 수렴의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 조화급수 $\sum \frac1n$은 $a_n\to0$이지만 발산한다. 발산을 보이려면 $a_n\to0$ 여부가 아니라 부분합 $S_n$의 극한을 직접 조사해야 한다. - **잘못된 생각**: 등비급수의 합 공식 $\dfrac{a}{1-r}$을 공비 $r$의 범위를 확인하지 않고 아무 등비급수에나 적용한다. → **왜 틀렸는가**: $|r|\geq1$이면 급수 자체가 발산하므로 합이라는 것이 존재하지 않는다. 예를 들어 $r=2$인 급수에 공식을 적용해 $\dfrac{a}{1-2}=-a$라는 엉뚱한 값을 "합"이라 말하면 틀린다. - **잘못된 생각**: 급수 $\sum a_n$과 수열의 극한 $\lim a_n$을 같은 대상으로 혼동한다. → **왜 틀렸는가**: $\lim a_n$은 항 $a_n$ 하나가 다가가는 값이고, 급수의 합은 부분합 $S_n$이 다가가는 값이다. 등비수열 $a_n=\left(\frac12\right)^{n-1}$의 경우 $\lim a_n=0$이지만 급수의 합은 $2$로 서로 다르다. ## 확인 문제 1. 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^{n-1}}$이 수렴하는지 판별하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. 2. 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac32\right)^{n-1}$이 수렴하는지 판별하시오. 3. "$a_n\to0$이면 $\sum a_n$이 수렴한다"는 주장이 참인지 거짓인지 반례를 들어 설명하시오. 정답 보기: 1. $a=3$, $r=\frac14$이고 $|r|<1$이므로 수렴하며, 합은 $\dfrac{3}{1-\frac14}=4$이다. 2. $r=\frac32$이고 $|r|=\frac32\geq1$이므로 발산한다. 3. 거짓이다. 조화급수 $\sum \frac1n$은 $a_n=\frac1n\to0$이지만 부분합이 한없이 커져 발산하므로 반례가 된다. ## 관련 개념 - 수열 - 등비수열 - 등차수열 - 수열의 극한 - 함수의 극한 --- 관련 개념: - 수열 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4) - 등비수열 (/wiki/math/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4) - 등차수열 (/wiki/math/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4) - 수열의 극한 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C) - 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C)