# 곱셈 공식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

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## 정의

**곱셈 공식**은 자주 나오는 다항식의 곱셈을 미리 전개해 둔 공식이다. 예를 들어 $(a+b)^2$($a$ 더하기 $b$의 제곱이라 읽는다)처럼 문자가 포함된 식의 곱을 매번 하나하나 분배법칙으로 계산하지 않고, 정해진 결과를 바로 쓸 수 있게 한 것이다.

대표적인 곱셈 공식은 다음과 같다.

$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
$$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$$

## 직관

곱셈 공식은 결국 일차식의 계산에서 배운 분배법칙을 반복해서 쓴 결과일 뿐이다. $(a+b)^2$을 넓이로 그려 보면 이해하기 쉽다. 한 변의 길이가 $a+b$인 정사각형은 한 변이 $a$인 정사각형, 한 변이 $b$인 정사각형, 그리고 $a\times b$ 직사각형 두 개로 나뉜다. 이 넓이를 모두 더하면 $a^2+2ab+b^2$이 되고, 이것이 바로 공식의 우변이다.

이 공식들을 외워 두면 복잡한 식을 빠르고 정확하게 전개할 수 있고, 거꾸로 인수분해를 할 때도 "어떤 곱셈 공식의 결과처럼 생겼는지"를 알아보는 데 쓰인다.

## 성질

- $(a+b)^2$과 $(a-b)^2$은 가운데 항의 부호만 다르고, 항상 $a^2$, $b^2$과 가운데 항 $\pm 2ab$로 이루어진다.
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$은 "합과 차의 곱"으로, 가운데 항이 사라져 두 제곱의 차만 남는다.
- $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$에서 $x^2$의 계수는 항상 $1$이고, 일차항의 계수는 $a$와 $b$의 합, 상수항은 $a$와 $b$의 곱이다.

## 예시

**예시 1**: $(x+3)^2$을 전개하면
$$(x+3)^2 = x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2 = x^2+6x+9$$

**예시 2**: $(2x-1)(2x+1)$을 전개하면 합차 공식을 쓴다.
$$(2x-1)(2x+1) = (2x)^2-1^2 = 4x^2-1$$

**예시 3**: $(x+2)(x-5)$를 전개하면
$$(x+2)(x-5) = x^2+(2+(-5))x+2\times(-5) = x^2-3x-10$$

곱셈 공식으로 전개한 식은 결국 이차함수 $y=x^2-3x-10$과 같은 그래프로도 확인할 수 있다.


그래프: y=x^2-3*x-10 (정의역 -6~8)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $(a+b)^2 = a^2+b^2$이라고 계산한다. → **왜 틀렸는가**: 넓이 그림에서 보듯 가운데 항 $2ab$(두 직사각형의 넓이 합)를 빠뜨린 것이다. 항상 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$처럼 세 항이 나와야 한다.
- **잘못된 생각**: $(a-b)^2$을 전개할 때 가운데 항의 부호를 $+2ab$로 잘못 쓴다. → **왜 틀렸는가**: $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$를 분배법칙으로 직접 곱해 보면 $-ab-ab=-2ab$가 나온다. 부호를 헷갈리지 않으려면 직접 한 번 전개해 확인하는 습관이 필요하다.
- **잘못된 생각**: $(x+a)(x+b)$를 전개할 때 상수항을 $a+b$로, 일차항 계수를 $ab$로 서로 바꿔 쓴다. → **왜 틀렸는가**: 일차항은 두 수의 **합**($a+b$)이고 상수항은 두 수의 **곱**($ab$)이다. 이 둘을 뒤바꾸면 완전히 다른 식이 된다.

## 확인 문제

1. $(3x+2)^2$을 전개하여라.
2. $(x-4)(x+4)$를 전개하여라.
3. $(x+6)(x-2)$를 전개하여라.

정답 보기:

1. $(3x+2)^2 = (3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2 = 9x^2+12x+4$
2. 합차 공식을 쓰면 $(x-4)(x+4)=x^2-4^2=x^2-16$
3. $(x+6)(x-2) = x^2+(6+(-2))x+6\times(-2) = x^2+4x-12$



## 관련 개념

- 문자와 식 — 문자를 이용한 식 표현의 기초
- 다항식, 단항식과 다항식의 계산 — 다항식의 곱셈을 이해하는 데 필요한 선수 개념
- 인수분해 — 곱셈 공식을 거꾸로 이용해 식을 곱의 형태로 바꾸는 후속 개념
- 이차방정식, 이차함수 — 곱셈 공식으로 전개·정리한 식이 활용되는 후속 단원

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관련 개념:
- 일차식의 계산 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 다항식 (/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D)
- 단항식과 다항식의 계산 (/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98)