정비례: $y = ax$ ($a$는 0이 아닌 상수, "에이"라고 읽는다) 꼴로 나타나면, $y$는 $x$에 정비례한다고 한다.
반비례: $y = \dfrac{a}{x}$ ($a$는 0이 아닌 상수) 꼴로 나타나면, $y$는 $x$에 반비례한다고 한다.
여기서 $a$를 비례상수라고 부른다. 정비례에서는 $\dfrac{y}{x} = a$(일정), 반비례에서는 $xy = a$(일정)가 항상 성립한다.
직관
정비례는 "많아지면 같이 많아지는" 관계다. $x$가 2배, 3배가 되면 $y$도 2배, 3배가 된다. 예를 들어 한 자루에 500원인 연필을 살 때, 사는 개수가 늘어나는 만큼 내야 하는 돈도 똑같은 비율로 늘어난다.
반비례는 "많아지면 대신 적어지는" 관계다. $x$가 2배가 되면 $y$는 $\dfrac{1}{2}$배가 되어, 둘을 곱한 값 $xy$는 항상 똑같이 유지된다. 예를 들어 정해진 양의 물을 여러 사람이 나눠 마신다면, 사람 수(x)가 늘수록 한 사람 몫(y)은 줄어들지만 "사람 수 × 한 사람 몫"은 항상 전체 물의 양으로 일정하다.
원점을 지나지 않는 두 개의 매끄러운 곡선(쌍곡선). $x$축, $y$축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다.
예시
$y=2x$는 정비례 관계다. $x=1,2,3$일 때 $y=2,4,6$이고, $\dfrac{y}{x}=2$로 항상 같다.
$y=\dfrac{6}{x}$는 반비례 관계다. $x=1,2,3,6$일 때 $y=6,3,2,1$이고, $xy=6$으로 항상 같다.
🌍 실생활 예시
자동차 여행을 생각해 보자. 속력이 일정하다면 이동 거리는 걸린 시간에 정비례한다(시간이 2배면 거리도 2배). 반대로 목적지까지 거리가 정해져 있다면, 속력과 걸리는 시간은 반비례 관계다(속력을 2배로 올리면 시간은 절반으로 준다). 같은 여행 상황에서도 무엇을 고정하느냐에 따라 정비례와 반비례가 모두 나타난다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $y=ax+b$ ($b\neq 0$) 도 그래프가 직선이니까 정비례라고 생각한다. → 왜 틀렸는지: 정비례는 반드시 $b=0$이어서 원점을 지나야 한다. $b\neq 0$이면 그냥 일차함수일 뿐 정비례가 아니다.
잘못된 생각: 반비례에서도 $x$가 2배가 되면 $y$도 2배가 된다고 착각한다. → 왜 틀렸는지: 반비례는 곱 $xy$가 일정한 관계이므로, $x$가 2배가 되면 $y$는 오히려 $\dfrac{1}{2}$배가 되어야 곱이 유지된다.
잘못된 생각: 반비례 그래프도 정비례처럼 원점을 지난다고 생각한다. → 왜 틀렸는지: $y=\dfrac{a}{x}$는 $x=0$일 때 정의되지 않으므로($0$으로 나눌 수 없다) 그래프는 원점을 절대 지나지 않고, 원점 주변에서 두 갈래로 갈라진 곡선 모양이 된다.
확인 문제
$y$가 $x$에 정비례하고, $x=3$일 때 $y=12$이다. 비례상수 $a$를 구하고, $x=5$일 때 $y$의 값을 구하시오.
$y=\dfrac{12}{x}$에서 $x=1,2,3,4,6,12$일 때 $y$값을 각각 구하고, 그때마다 $xy$의 값을 계산해 보시오. 이 결과를 통해 반비례 관계에서 항상 일정하게 유지되는 것이 무엇인지 설명하시오.
넓이가 $24\text{ cm}^2$인 직사각형의 가로 길이를 $x\text{ cm}$, 세로 길이를 $y\text{ cm}$라 하자. $x$와 $y$ 사이의 관계식을 세우고, 이 관계가 정비례인지 반비례인지 말하시오.