# 일차부등식 분야: 대수 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D --- ## 정의 **일차부등식**(一次不等式)은 부등호($>$, $<$, $\geq$, $\leq$)의 양쪽을 이항하여 정리했을 때, 한쪽이 0이고 다른 한쪽이 문자에 대한 일차식이 되는 부등식을 말한다. 즉 $$ax+b>0,\quad ax+b<0,\quad ax+b\geq 0,\quad ax+b\leq 0$$ ($a$, $b$는 상수, $a\neq 0$) 중 하나의 꼴로 나타낼 수 있는 부등식이다. 여기서 $\geq$는 "크거나 같다" 또는 "이상"으로, $\leq$는 "작거나 같다" 또는 "이하"로 읽는다. 일차부등식을 푼다는 것은 그 부등식을 참이 되게 하는 $x$의 값의 범위를 구하는 것이다. 일차방정식의 해가 하나(또는 몇 개)의 수인 것과 달리, 일차부등식의 해는 대부분 무수히 많은 수로 이루어진 **범위**로 나온다. ## 직관 저울을 떠올려 보자. 양팔저울에서 왼쪽 접시가 더 무거운 상태(부등호로 비교되는 상태)를 유지하려면, 양쪽에 같은 무게를 더하거나 빼도 여전히 왼쪽이 더 무겁다. 그런데 만약 양쪽 무게를 "거꾸로" 바꿔치기(음수를 곱하는 것과 비슷한 조작)하면 어느 쪽이 더 무거운지도 뒤바뀐다. 일차부등식을 풀 때 부등식의 성질을 지켜야 하는 이유가 바로 여기에 있다: 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것은 부등호 방향을 바꾸지 않지만, 음수를 곱하거나 음수로 나누는 것은 부등호 방향을 뒤집는다. ## 성질(풀이에 필요한 부등식의 성질) $a0$이면 $acbc$, $\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}$ (음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다) 풀이 순서는 일차방정식과 비슷하다: 괄호를 풀고 → 문자항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항하고 → 양변을 정리하여 $ax>b$($a\neq0$) 꼴로 만든 뒤 → 양변을 $a$로 나누어 $x$의 범위를 구한다. ## 예시 **예제 1.** $2x-3>5$를 풀어라. $$2x-3>5 \;\Rightarrow\; 2x>8 \;\Rightarrow\; x>4$$ 양변에 $3$을 더하고, 양변을 양수 $2$로 나누었으므로 부등호 방향은 그대로 유지된다. 그래프: y=2*x-3, y=5 (정의역 -5~10) 그래프에서 직선 $y=2x-3$이 직선 $y=5$보다 위쪽에 있는 $x$의 범위가 바로 해 $x>4$이다. **예제 2.** $-3x+2\leq 11$을 풀어라. $$-3x+2\leq 11 \;\Rightarrow\; -3x\leq 9 \;\Rightarrow\; x\geq -3$$ 양변을 음수 $-3$으로 나누었으므로 부등호 방향이 $\leq$에서 $\geq$로 바뀐다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $-2x>6$의 양변을 $-2$로 나눌 때 그냥 $x>-3$이라고 쓴다. **왜 틀렸는지**: 음수로 나눌 때는 부등호 방향이 반드시 뒤집혀야 한다. 올바른 답은 $x<-3$이다. 예컨대 $x=-4$를 원래 식에 넣으면 $-2\times(-4)=8>6$이 성립하지만, $x>-3$의 범위에는 $-4$가 포함되지 않으므로 모순임을 확인할 수 있다. - **잘못된 생각**: $3(x-2)4$와 $x\geq4$를 구분하지 않고 똑같이 표시한다. **왜 틀렸는지**: $x>4$는 $4$를 포함하지 않으므로 수직선에서 $4$ 위치를 빈 원(○)으로, $x\geq4$는 $4$를 포함하므로 채운 원(●)으로 표시해야 한다. 등호 포함 여부를 놓치면 경계값이 해인지 아닌지 틀리게 된다. ## 확인 문제 1. 부등식 $5x-7<3x+1$을 풀어라. 2. 부등식 $-4x+3\geq 15$를 풀어라. 3. 부등식 $2(x+1)\leq 3x-4$를 풀어라. 정답 보기: 1. $5x-7<3x+1 \Rightarrow 2x<8 \Rightarrow x<4$ 2. $-4x+3\geq15 \Rightarrow -4x\geq12 \Rightarrow x\leq-3$ (음수로 나누어 부등호 방향이 바뀜) 3. $2x+2\leq3x-4 \Rightarrow 6\leq x$, 즉 $x\geq6$ ## 관련 개념 - 일차방정식 — 등호를 부등호로 바꾼 것이 일차부등식이며, 풀이 순서가 유사하다. - 부등식 — 일차부등식이 속하는 상위 개념으로, 부등식의 기본 성질을 다룬다. - 연립일차방정식 — 여러 개의 방정식을 함께 푸는 것처럼, 여러 부등식을 함께 푸는 연립부등식으로 확장된다. - 이차부등식 — 일차부등식의 원리를 이차식으로 확장한 개념이다. - 부등식의 영역 — 두 변수를 가진 부등식의 해를 좌표평면 위의 영역으로 나타내는 개념이다. --- 관련 개념: - 일차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 부등식 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 연립일차방정식 (/wiki/math/%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 이차부등식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D) - 부등식의 영역 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EC%98%81%EC%97%AD)