유리함수

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정의

유리함수(有理函數)는 함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$가 두 다항식 $g(x)$, $h(x)$($h(x)$는 상수함수가 아님)에 대해

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

의 꼴로 나타내어지는 함수를 말한다. 이때 정의역은 $h(x)\neq 0$을 만족하는 실수 전체의 집합이다. 특히 $f(x)$가 다항식이면(즉 $h(x)$가 상수이면) 유리함수는 다항함수가 되므로, 보통 유리함수라고 하면 $h(x)$가 일차 이상인 경우를 가리킨다.

가장 간단한 유리함수는 반비례 관계인 $y=\dfrac{k}{x}$ ($k\neq 0$)이고, 고등학교에서 주로 다루는 것은 이를 평행이동한

$$y=\frac{k}{x-p}+q \quad (k\neq 0)$$

꼴이다. 이 그래프를 점근선(그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 직선)이 $x=p$, $y=q$인 곡선(쌍곡선)이라 한다.

직관

반비례 그래프 $y=\dfrac{1}{x}$을 떠올려 보자. $x$가 0에 가까워질수록 $y$는 한없이 커지거나 작아지고, $x$가 한없이 커지면 $y$는 0에 가까워진다. 즉 그래프는 $x=0$과 $y=0$이라는 두 직선을 향해 다가가되 절대 닿지 않는다.

$y=\dfrac{k}{x-p}+q$는 이 반비례 그래프를 $x$축 방향으로 $p$, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것뿐이다. 그래서 "닿지 못하는 두 축"의 위치도 그대로 이동해서 $x=p$, $y=q$가 새로운 점근선이 된다. 일반적인 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴의 유리함수도 나눗셈을 이용해 이 표준형으로 바꿀 수 있으므로, 결국 모든 (일차/일차) 유리함수는 반비례 그래프를 이동·확대한 것에 불과하다.

성질

• 정의역: $x\neq p$인 실수 전체, 치역: $y\neq q$인 실수 전체.
• 그래프는 점 $(p, q)$에 대해 대칭이다.
• 두 직선 $x=p$, $y=q$가 점근선이다.
• $k>0$이면 그래프는 제1·3사분면 방향(점근선 기준)에, $k<0$이면 제2·4사분면 방향에 놓인다.
• 일반형 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0$, $ad-bc\neq 0$)은 다음과 같이 변형된다.

$$y=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{\frac{bc-ad}{c}}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)}$$

여기서 점근선은 $x=-\dfrac{d}{c}$, $y=\dfrac{a}{c}$이다.

예시

$y=\dfrac{2x+1}{x-1}$을 표준형으로 바꿔 보자. 분자를 분모로 나누면 $2x+1=2(x-1)+3$이므로

$$y=\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$$

따라서 이 함수는 $k=3$, $p=1$, $q=2$인 $y=\dfrac{3}{x-1}+2$ 꼴이며, 정의역은 $x\neq 1$, 치역은 $y\neq 2$, 점근선은 $x=1$, $y=2$이다.

🌍 실생활 예시

물체의 속력, 이동 거리, 걸리는 시간 사이의 관계 $t=\dfrac{s}{v}$(거리 $s$가 일정할 때 시간 $t$는 속력 $v$에 반비례)가 대표적인 유리함수 형태다. 예를 들어 300 km 떨어진 곳을 갈 때 걸리는 시간 $t=\dfrac{300}{v}$는 속력 $v$(시속)에 대한 유리함수이며, $v$가 커질수록 $t$는 0에 가까워지지만 결코 0이 되지 않는다(아무리 빨라도 시간이 완전히 0일 수는 없다).

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: $y=\dfrac{3}{x+1}+2$의 점근선을 $x=1$, $y=2$로 착각한다. → 왜 틀렸는가: $x-p$ 꼴에서 $p$를 읽어야 하는데, $x+1=x-(-1)$이므로 $p=-1$이다. 부호를 그대로 옮겨 적으면 안 되고 반드시 $x-p$의 형태로 바꿔 $p$를 확인해야 한다.
• 잘못된 생각: 유리함수의 정의역은 항상 실수 전체라고 생각한다. → 왜 틀렸는가: 분모를 0으로 만드는 $x$값은 함숫값이 정의되지 않으므로 정의역에서 반드시 제외해야 한다. 예컨대 $y=\dfrac{1}{x-2}$의 정의역은 $x\neq 2$인 실수 전체이다.
• 잘못된 생각: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$에서 점근선의 $y$값을 상수항 $\dfrac{b}{d}$로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 점근선의 $y$값은 $x\to\infty$일 때의 극한값이므로 $x$의 계수의 비인 $\dfrac{a}{c}$가 되어야 한다. $\dfrac{b}{d}$는 그래프가 $y$축과 만나는 점과 관련된 값일 뿐 점근선과는 무관하다.

확인 문제

1. $y=\dfrac{3x-1}{x-2}$를 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 꼴로 바꾸고, 이 과정에서 점근선이 왜 "분자를 나눈 나머지"와 "몫"으로 각각 결정되는지 설명해 보시오.
2. $y=\dfrac{1}{x+3}-2$의 정의역과 치역, 점근선을 구하시오.
3. $y=\dfrac{2}{x}$의 그래프를 어떻게 평행이동해야 $y=\dfrac{2}{x-4}+1$의 그래프가 되는지 말하시오.

관련 개념

• 함수 — 유리함수도 정의역·치역을 갖는 함수의 한 종류이다.
• 정비례와 반비례 — $y=\dfrac{k}{x}$ 꼴 반비례가 유리함수의 가장 기본적인 형태이다.
• 다항식 — 유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 꼴로 정의된다.
• 무리함수 — 근호 안에 다항식이 들어간 함수로, 유리함수와 함께 다항함수 이외의 대표적인 함수이다.
• 함수의 연속 — 유리함수는 분모가 0이 되는 점에서 불연속임을 이해하는 데 쓰인다.