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원주각

기하 중등 · v1 · 🤖 LLM 버전

🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 원 (초등) · 각과 각도 (초등)

정의

원 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 같은 원 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 이어 만든 각 $\angle \mathrm{APB}$($\angle \mathrm{APB}$는 "각 에이피비"라고 읽는다)를 호 $\mathrm{AB}$에 대한 원주각이라고 한다. 이때 점 $\mathrm{P}$는 호 $\mathrm{AB}$ 위에 있지 않은, 원 위의 임의의 점이다.

호 $\mathrm{AB}$의 양 끝점을 원의 중심 $\mathrm{O}$와 이어서 만든 각 $\angle \mathrm{AOB}$는 같은 호에 대한 중심각이라고 한다. 원주각과 중심각은 항상 같은 호를 기준으로 짝지어 생각한다.

직관

원 둘레에 서서 호의 양 끝을 바라본다고 생각하면 쉽다. 원 위 어디에 서 있든, 같은 호를 바라보는 각도는 항상 똑같다 — 마치 무대 위 배우를 객석 어디서 보든(단, 같은 쪽 객석이라면) 정해진 배경 폭이 시야각을 결정하는 것과 비슷하다. 원의 중심에 서서 보면(중심각) 그 각이 원주에서 보는 각(원주각)의 정확히 2배가 된다는 것이 원주각의 핵심 성질이다.

성질

  1. 원주각의 정리: 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다. $$\angle \mathrm{APB} = \frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}$$
  2. 반원에 대한 원주각: 지름을 이루는 호(반원)에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$(직각)이다. 중심각이 $180^\circ$이므로 그 절반이기 때문이다.
  3. 원에 내접하는 사각형: 네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 사각형에서 마주 보는 두 각의 크기의 합은 $180^\circ$이다.
  4. 같은 크기의 호에 대한 원주각: 호의 길이가 같으면 그 호에 대한 원주각의 크기도 같다.

예시

예시 1. 원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 호 $\mathrm{AB}$를 바라본 원주각이 $35^\circ$일 때, 같은 호 $\mathrm{AB}$에 대한 중심각의 크기는 원주각의 2배이므로 $70^\circ$이다.

예시 2. 어떤 점 $\mathrm{C}$가 원 위에 있고 $\mathrm{AB}$가 그 원의 지름일 때, $\angle \mathrm{ACB}$는 반원에 대한 원주각이므로 항상 $90^\circ$이다. 예를 들어 $\overline{\mathrm{AB}} = 10$, $\overline{\mathrm{AC}} = 6$이면 삼각형 $\mathrm{ACB}$는 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$이다.

예시 3. 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\angle \mathrm{A} = 100^\circ$이면, 마주 보는 각의 합이 $180^\circ$이므로 $\angle \mathrm{C} = 80^\circ$이다.

🌍 실생활 예시

축구 경기에서 골을 넣기 좋은 위치를 판단할 때 원주각의 원리가 쓰인다. 골대 양쪽 기둥을 호의 양 끝으로 보면, 선수가 서 있는 위치에서 골대를 보는 각(슈팅 각도)이 클수록 골을 넣기 유리하다. 골대의 두 기둥을 지나는 원을 그렸을 때, 그 원 위의 지점들은 모두 같은 슈팅 각도를 가지므로, 스포츠 분석에서 "최적의 슈팅 구역"을 원 모양으로 그려 설명하는 것이 바로 원주각이 일정하다는 성질을 이용한 것이다.

⚠️ 흔한 실수

확인 문제

  1. 원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 호 $\mathrm{AB}$에 대한 원주각이 $50^\circ$일 때, 같은 호에 대한 중심각의 크기를 구하시오.
  2. 원 $\mathrm{O}$ 위에 지름 $\mathrm{AB}$와 원 위의 점 $\mathrm{C}$가 있다. $\overline{\mathrm{AB}} = 13$, $\overline{\mathrm{AC}} = 5$일 때 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이를 구하시오.
  3. 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\angle \mathrm{B} = 95^\circ$일 때 $\angle \mathrm{D}$의 크기를 구하고, 왜 원주각의 정리로부터 이 관계(대각의 합이 $180^\circ$)가 성립하는지 한 문장으로 설명하시오.
정답 보기
  1. 중심각은 원주각의 2배이므로 $50^\circ \times 2 = 100^\circ$이다.
  2. $\angle \mathrm{ACB}$는 반원에 대한 원주각이므로 $90^\circ$이다. 따라서 피타고라스 정리로 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$이다.
  3. $\angle \mathrm{D} = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$이다. $\angle \mathrm{B}$와 $\angle \mathrm{D}$는 각각 호 $\mathrm{ADC}$와 호 $\mathrm{ABC}$에 대한 원주각인데, 두 호를 합치면 원 전체(중심각의 합이 $360^\circ$)가 되므로, 원주각은 중심각의 절반이라는 정리에 의해 두 원주각의 합은 $360^\circ \div 2 = 180^\circ$가 된다.

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