# 원주각 분야: 기하 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EA%B0%81 --- ## 정의 원 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 같은 원 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 이어 만든 각 $\angle \mathrm{APB}$($\angle \mathrm{APB}$는 "각 에이피비"라고 읽는다)를 호 $\mathrm{AB}$에 대한 **원주각**이라고 한다. 이때 점 $\mathrm{P}$는 호 $\mathrm{AB}$ 위에 있지 않은, 원 위의 임의의 점이다. 호 $\mathrm{AB}$의 양 끝점을 원의 중심 $\mathrm{O}$와 이어서 만든 각 $\angle \mathrm{AOB}$는 같은 호에 대한 **중심각**이라고 한다. 원주각과 중심각은 항상 같은 호를 기준으로 짝지어 생각한다. ## 직관 원 둘레에 서서 호의 양 끝을 바라본다고 생각하면 쉽다. 원 위 어디에 서 있든, 같은 호를 바라보는 각도는 항상 똑같다 — 마치 무대 위 배우를 객석 어디서 보든(단, 같은 쪽 객석이라면) 정해진 배경 폭이 시야각을 결정하는 것과 비슷하다. 원의 중심에 서서 보면(중심각) 그 각이 원주에서 보는 각(원주각)의 정확히 2배가 된다는 것이 원주각의 핵심 성질이다. ## 성질 1. **원주각의 정리**: 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다. $$\angle \mathrm{APB} = \frac{1}{2}\angle \mathrm{AOB}$$ 2. **반원에 대한 원주각**: 지름을 이루는 호(반원)에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$(직각)이다. 중심각이 $180^\circ$이므로 그 절반이기 때문이다. 3. **원에 내접하는 사각형**: 네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 사각형에서 마주 보는 두 각의 크기의 합은 $180^\circ$이다. 4. **같은 크기의 호에 대한 원주각**: 호의 길이가 같으면 그 호에 대한 원주각의 크기도 같다. ## 예시 **예시 1.** 원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 호 $\mathrm{AB}$를 바라본 원주각이 $35^\circ$일 때, 같은 호 $\mathrm{AB}$에 대한 중심각의 크기는 원주각의 2배이므로 $70^\circ$이다. **예시 2.** 어떤 점 $\mathrm{C}$가 원 위에 있고 $\mathrm{AB}$가 그 원의 지름일 때, $\angle \mathrm{ACB}$는 반원에 대한 원주각이므로 항상 $90^\circ$이다. 예를 들어 $\overline{\mathrm{AB}} = 10$, $\overline{\mathrm{AC}} = 6$이면 삼각형 $\mathrm{ACB}$는 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$이다. **예시 3.** 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\angle \mathrm{A} = 100^\circ$이면, 마주 보는 각의 합이 $180^\circ$이므로 $\angle \mathrm{C} = 80^\circ$이다. ## 🌍 실생활 예시 축구 경기에서 골을 넣기 좋은 위치를 판단할 때 원주각의 원리가 쓰인다. 골대 양쪽 기둥을 호의 양 끝으로 보면, 선수가 서 있는 위치에서 골대를 보는 각(슈팅 각도)이 클수록 골을 넣기 유리하다. 골대의 두 기둥을 지나는 원을 그렸을 때, 그 원 위의 지점들은 모두 같은 슈팅 각도를 가지므로, 스포츠 분석에서 "최적의 슈팅 구역"을 원 모양으로 그려 설명하는 것이 바로 원주각이 일정하다는 성질을 이용한 것이다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 원주각과 중심각이 같은 크기라고 착각한다. → 왜 틀렸는지: 원주각은 항상 같은 호에 대한 중심각의 **절반**이다. 중심각이 $80^\circ$이면 원주각은 $40^\circ$이지 $80^\circ$가 아니다. - **잘못된 생각**: 원 위의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 달라지면 원주각의 크기도 달라진다고 생각한다. → 왜 틀렸는지: $\mathrm{P}$가 호 $\mathrm{AB}$가 아닌 쪽(즉 우리가 보는 호 반대편)의 원 위 어디에 있든, 같은 호 $\mathrm{AB}$에 대한 원주각의 크기는 항상 동일하다. 점의 위치가 각의 모양을 바꿀 뿐 크기는 바꾸지 않는다. - **잘못된 생각**: 원에 내접하는 사각형에서 아무 각이나 더하면 $180^\circ$가 된다고 생각한다. → 왜 틀렸는지: 이웃한 각의 합이 아니라 **마주 보는(대각) 두 각의 합**만 $180^\circ$이다. 이웃한 각끼리는 일반적으로 $180^\circ$가 되지 않는다. ## 확인 문제 1. 원 위의 점 $\mathrm{P}$에서 호 $\mathrm{AB}$에 대한 원주각이 $50^\circ$일 때, 같은 호에 대한 중심각의 크기를 구하시오. 2. 원 $\mathrm{O}$ 위에 지름 $\mathrm{AB}$와 원 위의 점 $\mathrm{C}$가 있다. $\overline{\mathrm{AB}} = 13$, $\overline{\mathrm{AC}} = 5$일 때 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이를 구하시오. 3. 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\angle \mathrm{B} = 95^\circ$일 때 $\angle \mathrm{D}$의 크기를 구하고, 왜 원주각의 정리로부터 이 관계(대각의 합이 $180^\circ$)가 성립하는지 한 문장으로 설명하시오. 정답 보기: 1. 중심각은 원주각의 2배이므로 $50^\circ \times 2 = 100^\circ$이다. 2. $\angle \mathrm{ACB}$는 반원에 대한 원주각이므로 $90^\circ$이다. 따라서 피타고라스 정리로 $\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$이다. 3. $\angle \mathrm{D} = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$이다. $\angle \mathrm{B}$와 $\angle \mathrm{D}$는 각각 호 $\mathrm{ADC}$와 호 $\mathrm{ABC}$에 대한 원주각인데, 두 호를 합치면 원 전체(중심각의 합이 $360^\circ$)가 되므로, 원주각은 중심각의 절반이라는 정리에 의해 두 원주각의 합은 $360^\circ \div 2 = 180^\circ$가 된다. ## 관련 개념 - 원 — 원주각이 정의되는 도형 자체 - 각과 각도 — 각의 크기를 재는 기본 개념 - 원과 부채꼴 — 중심각과 호의 관계를 다루는 선수 개념 - 삼각비 — 원주각과 직각삼각형을 함께 활용하는 후속 개념 - 원의 방정식 — 원주각의 성질을 좌표평면에서 다루는 후속 개념 --- 관련 개념: - 원 (/wiki/math/%EC%9B%90) - 각과 각도 (/wiki/math/%EA%B0%81%EA%B3%BC_%EA%B0%81%EB%8F%84) - 원과 부채꼴 (/wiki/math/%EC%9B%90%EA%B3%BC_%EB%B6%80%EC%B1%84%EA%BC%B4) - 삼각비 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84) - 원의 방정식 (/wiki/math/%EC%9B%90%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)