# 등차수열 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 --- ## 정의 수열 $\{a_n\}$($a$ 서브 $n$이라 읽으며, $n$번째 항을 뜻한다)에서 이웃한 두 항의 차 $a_{n+1} - a_n$이 모든 자연수 $n$에 대해 일정한 값 $d$로 고정될 때, 이 수열을 **등차수열**이라 하고 $d$를 **공차**(公差)라 한다. $$a_{n+1} - a_n = d \quad (\text{모든 자연수 } n)$$ 첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 다음과 같다. $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ ## 직관 등차수열은 "매번 같은 양만큼 더해지는" 수열이다. 계단을 오를 때 한 칸의 높이가 항상 같다면, $n$번째 칸의 높이는 시작 높이에 (칸 수 $-1$)만큼 한 칸 높이를 곱해서 더한 값이 된다. 실제로 $a_n = a_1 + (n-1)d$는 $n$에 대한 일차함수 $f(n) = dn + (a_1 - d)$와 같은 꼴이므로, 등차수열의 각 항을 좌표평면에 점으로 찍으면 정확히 일차함수의 그래프 위에 나란히 놓인다. ## 성질 **등차중항**: 세 수 $a, b, c$가 이 순서로 등차수열을 이루면 $b$는 $a$와 $c$의 등차중항이라 하며 다음이 성립한다. $$2b = a + c$$ **첫째항부터 $n$째항까지의 합** $S_n$($S$ 서브 $n$이라 읽는다)은 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}$$ 또한 $S_n$과 $a_n$ 사이에는 다음 관계가 성립한다. $$a_n = \begin{cases} S_1 & (n=1) \\ S_n - S_{n-1} & (n \ge 2) \end{cases}$$ ## 예시 첫째항이 $2$, 공차가 $3$인 등차수열을 생각해 보자. 일반항은 $a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 1$이다. 실제로 $a_1=2, a_2=5, a_3=8, \dots$로 항이 3씩 늘어난다. 이 수열의 첫 10항의 합은 $$S_{10} = \frac{10(2\cdot 2 + 9\cdot 3)}{2} = \frac{10(4+27)}{2} = \frac{10\cdot 31}{2} = 155$$ 일반항 $a_n = 3n-1$을 $n$에 대한 함수로 그리면 다음과 같은 직선 위에 각 항이 놓인다. 그래프: y=3*x-1 (정의역 0~10) ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 공차를 구할 때 $a_1 - a_2$처럼 앞항에서 뒷항을 빼도 상관없다고 생각한다. → **왜 틀렸는지**: 공차는 반드시 $d = a_{n+1} - a_n$(뒷항 $-$ 앞항)으로 정의되므로, 순서를 바꾸면 부호가 반대로 나와 수열이 증가하는지 감소하는지가 뒤바뀐다. - **잘못된 생각**: 일반항을 $a_n = a_1 + nd$로 외운다. → **왜 틀렸는지**: 항이 하나씩 늘어날 때마다 공차가 더해지는 횟수는 $n$번이 아니라 $(n-1)$번이다. 예를 들어 $a_1$은 공차가 한 번도 더해지지 않은 항이므로 $n-1=0$이 맞다. - **잘못된 생각**: 합 $S_n$이 주어졌을 때 항상 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 적용한다. → **왜 틀렸는지**: 이 식은 $n \ge 2$일 때만 성립하며, $n=1$일 때는 $S_0$이 정의되지 않으므로 $a_1 = S_1$을 따로 확인해야 한다. ## 확인 문제 1. 첫째항이 $5$, 공차가 $-2$인 등차수열의 일반항 $a_n$과 제20항을 구하시오. 2. 등차수열 $3, 7, 11, \dots$의 첫 10항의 합을 구하시오. 3. 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 8$, $a_7 = 20$일 때 공차 $d$와 첫째항 $a_1$을 구하시오. 정답 보기: 1. $a_n = 5 + (n-1)(-2) = 7-2n$, $a_{20} = 7 - 40 = -33$ 2. $a_1=3, d=4$이므로 $S_{10} = \dfrac{10(2\cdot3+9\cdot4)}{2} = \dfrac{10\cdot42}{2} = 210$ 3. $a_7-a_3 = 4d = 20-8=12$이므로 $d=3$. $a_3=a_1+2d=8$에서 $a_1=8-6=2$ ## 관련 개념 - 수열 — 등차수열은 수열의 한 종류이므로 먼저 수열의 정의를 이해해야 한다. - 일차함수 — 등차수열의 일반항은 $n$에 대한 일차함수 꼴이다. - 등비수열 — 항 사이의 관계가 덧셈이 아닌 곱셈으로 정해지는 대비되는 개념이다. - 급수 — 등차수열의 합을 무한히 확장하는 개념으로 이어진다. - 수열의 극한 — 등차수열의 항이 커질 때의 극한적 행동을 다룰 때 쓰인다. --- 관련 개념: - 일차함수 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98) - 수열 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4) - 등비수열 (/wiki/math/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4) - 급수 (/wiki/math/%EA%B8%89%EC%88%98) - 수열의 극한 (/wiki/math/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C)