문제
집에서 학교까지 거리는 2 km이다. 시속 4 km로 걸어가면 몇 분이 걸리는가?
🔑 핵심 아이디어
속력은 1시간에 가는 거리, 즉 단위량이다. 단위량을 알면 전체는 곱셈으로 나온다.
$$(\text{거리}) = (\text{속력}) \times (\text{시간})$$
$$(\text{시간}) = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}, \qquad (\text{속력}) = \frac{\text{거리}}{\text{시간}}$$
풀이
1단계 — 무엇을 묻는지 고른다. 거리와 속력을 주고 시간을 물었으므로
$$(\text{시간}) = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ (시간)}$$
2단계 — 묻는 단위로 바꾼다. 답을 분으로 물었으므로
$$0.5 \times 60 = 30 \text{ (분)}$$
답은 30분이다.
왜 그렇게 되나
시속 4 km는 "1시간마다 4 km씩"이라는 뜻이다. 시간이 2배가 되면 거리도 2배가 되므로 거리와 시간은 정비례 관계다. 그래서 곱셈 한 번으로 끝난다.
반대로 같은 거리를 두고 보면, 속력이 2배면 시간은 절반이 된다. 이쪽은 반비례다. 한 문제 안에 정비례와 반비례가 같이 들어 있으므로, 무엇을 고정하고 무엇을 변화시키는지를 항상 먼저 정해야 한다.
시속 4 km를 분속으로 바꾸면
$$\frac{4000 \text{ m}}{60 \text{ 분}} = \frac{200}{3} \text{ m/분}$$
이므로 2000 m를 가는 데 $2000 \div \frac{200}{3} = 30$분. 어느 단위로 계산해도 답은 같다.
⚠️ 흔한 실수
단위를 통일하지 않기. 속력이 시속인데 시간을 분으로 넣으면 답이 60배 어긋난다. 계산을 시작하기 전에 "시간 단위는 시(時)인가 분인가", "거리 단위는 km인가 m인가"를 먼저 맞춘다.
세 양의 자리를 헷갈리기. 외우기보다 단위로 확인하는 편이 안전하다. km를 km/시로 나누면 시가 남는다. 단위가 맞으면 식이 맞다.
왕복 평균 속력을 그냥 평균 내기. 갈 때 시속 4 km, 올 때 시속 6 km면 평균 속력은 5 km/시가 아니다. 아래 변형 문제에서 다룬다.
변형 문제
(1) 왕복 평균 속력. 편도 거리를 $d$라 하면 걸린 시간은
$$\frac{d}{4} + \frac{d}{6} = \frac{3d + 2d}{12} = \frac{5d}{12}$$
전체 거리는 $2d$이므로
$$(\text{평균 속력}) = \frac{2d}{\frac{5d}{12}} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ (km/시)}$$
5가 아니라 4.8이다. 느린 쪽에서 시간을 더 오래 쓰기 때문에 평균이 느린 쪽으로 끌려간다. 거리가 아니라 시간이 가중치라는 점이 핵심이다.
(2) 속력을 바꿔 시간을 맞추기. 시속 4 km로 가면 10분 늦고, 시속 6 km로 가면 10분 이르다면 거리는? 약속 시각까지 남은 시간을 $t$시간이라 하면
$$4\left(t + \tfrac{1}{6}\right) = 6\left(t - \tfrac{1}{6}\right) \quad \Rightarrow \quad 4t + \tfrac{2}{3} = 6t - 1 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{5}{6}$$
거리는 $4 \times \left(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}\right) = 4$ km다.
(3) 두 사람이 움직이면 거리 대신 "둘 사이의 거리"를 보게 된다 — 만남과 따라잡기 문제로 이어진다.