시계 바늘 문제 중등

문제

3시와 4시 사이에서 시침과 분침이 겹치는 것은 3시 몇 분인가?

🔑 핵심 아이디어

두 바늘의 각속도(1분에 도는 각)를 먼저 구한다. 그러면 시계판 위의 따라잡기 문제가 된다.

$$(\text{분침}) = \frac{360^\circ}{60\ \text{분}} = 6^\circ/\text{분}, \qquad (\text{시침}) = \frac{360^\circ}{12 \times 60\ \text{분}} = 0.5^\circ/\text{분}$$

$$(\text{사이 각의 변화율}) = 6^\circ - 0.5^\circ = 5.5^\circ/\text{분}$$

풀이

1단계 — 출발선을 그린다. 12시 방향을 $0^\circ$로 잡으면 3시 정각에 분침은 $0^\circ$, 시침은 $90^\circ$에 있다. 벌어진 각은 $90^\circ$다.

2단계 — 따라잡는 속력으로 나눈다. 분침이 시침을 1분에 $5.5^\circ$씩 따라잡으므로

$$\frac{90}{5.5} = \frac{180}{11} = 16\frac{4}{11} \text{ (분)}$$

답은 3시 $16\frac{4}{11}$분이다.

검산. 그때 분침은 $6 \times \frac{180}{11} = \frac{1080}{11} \approx 98.2^\circ$, 시침은 $90 + 0.5 \times \frac{180}{11} = 90 + \frac{90}{11} \approx 98.2^\circ$로 같은 자리다.

왜 그렇게 되나

시계 문제가 어려워 보이는 이유는 시침도 함께 움직인다는 사실을 잊기 때문이다. 3시 15분에 분침이 3을 가리킬 때 시침은 이미 3을 지나 조금 더 가 있다. 그래서 겹치는 시각은 15분이 아니라 그보다 조금 뒤인 $16\frac{4}{11}$분이다.

시침이 1분에 $0.5^\circ$인 이유도 나눗셈 한 번이다. 12시간(720분)에 한 바퀴($360^\circ$)를 도니 $360 \div 720 = 0.5$다. 여기까지 오면 만남과 따라잡기 문제와 완전히 같은 구조가 보인다.

바뀐 것은 "거리"가 "각"이 되었다는 것뿐이다.

⚠️ 흔한 실수

시침을 고정해 두기. 가장 흔한 오답의 원인이다. 시침도 분당 $0.5^\circ$씩 움직인다.

$5.5$ 대신 $6$으로 나누기. $90 \div 6 = 15$분은 "시침이 3에 멈춰 있다면"의 답이다.

$\frac{180}{11}$을 반올림해서 답하기. $16.36\ldots$분은 딱 떨어지지 않는다. 시계 문제의 답에 분모 11이 자주 등장하는 것은 $5.5 = \frac{11}{2}$이기 때문이다.

출발 각을 잘못 잡기. $n$시 정각의 시침 각은 $30n$도다. 3시면 $90^\circ$, 7시면 $210^\circ$.

변형 문제

(1) 직각이 되는 때. 3시 이후 처음으로 두 바늘이 이루는 각이 $90^\circ$가 되는 시각은, 벌어진 각 $90^\circ$가 $0^\circ$를 지나 반대쪽으로 $90^\circ$까지 가야 하므로

$$\frac{90 + 90}{5.5} = \frac{180}{5.5} = \frac{360}{11} = 32\frac{8}{11} \text{ (분)}$$

(2) 일직선(반대 방향)이 되는 때. 사이 각이 $180^\circ$가 되어야 하므로

$$\frac{90 + 180}{5.5} = \frac{270}{5.5} = \frac{540}{11} = 49\frac{1}{11} \text{ (분)}$$

(3) 하루에 몇 번 겹치는가. 12시간 동안 분침은 시침보다 정확히 11바퀴를 더 돈다. 따라서 겹치는 것은 12시간에 11번, 하루에 22번이다. 12번이 아니라는 점이 재미있는 부분이다.

쓰이는 개념

• 시계판의 각을 다루므로 각과 각도가 바탕이 된다
• 겹치는 시각을 $x$분으로 두면 일차방정식이 된다
• 같은 상대 속도 구조가 만남과 따라잡기 문제에 나온다