문제
어떤 일을 A 혼자 하면 6일, B 혼자 하면 12일이 걸린다. 두 사람이 함께 하면 며칠이 걸리는가?
🔑 핵심 아이디어
걸리는 날수는 더할 수 없지만, 하루에 하는 일의 양은 더할 수 있다. 전체 일을 1로 놓으면
$$(\text{하루에 하는 일}) = \frac{1}{\text{혼자 걸리는 날수}}$$
이고, 함께 하면 이 값들이 더해진다.
풀이
1단계 — 전체 일을 1로 둔다. A는 하루에 $\dfrac{1}{6}$, B는 하루에 $\dfrac{1}{12}$을 한다.
2단계 — 하루치를 더한다.
$$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$
3단계 — 되돌린다. 하루에 전체의 $\dfrac{1}{4}$을 하므로 걸리는 날수는
$$1 \div \frac{1}{4} = 4 \text{ (일)}$$
답은 4일이다.
왜 그렇게 되나
"6일과 12일의 평균인 9일"이 답이 아닌 이유는, 둘이 함께 하면 혼자 할 때보다 반드시 빨라야 하기 때문이다. 답은 두 수 중 작은 값(6일)보다도 작아야 한다. 4일은 그 조건을 만족한다.
분수가 부담스럽다면 전체 일을 1 대신 6과 12의 최소공배수인 12로 놓아도 된다.
| 전체 일 = 12일 때 하루 작업량 | |
|---|---|
| A (6일) | $12 \div 6 = 2$ |
| B (12일) | $12 \div 12 = 1$ |
| 함께 | $2 + 1 = 3$ |
걸리는 날수는 $12 \div 3 = 4$일. 분수 없이 같은 답이 나온다. 전체를 무엇으로 잡든 비율만 맞으면 답은 변하지 않는다 — 이것이 "전체를 1로 둔다"는 발상의 정체다.
이 구조는 거리·속력·시간과 정확히 같다. 전체 일이 거리, 하루 작업량이 속력, 걸린 날수가 시간이다.
⚠️ 흔한 실수
날수를 그대로 더하거나 평균 내기. $6 + 12 = 18$일이나 $(6 + 12) \div 2 = 9$일은 둘 다 혼자 할 때보다 느려서 말이 되지 않는다. 더할 수 있는 것은 하루에 하는 일의 양뿐이다.
마지막에 되돌리는 것을 잊기. $\dfrac{1}{4}$은 하루에 하는 일의 양이지 날수가 아니다. 날수는 그 역수다.
빼는 상황에서 부호를 놓치기. 물을 채우는 수도꼭지와 빼는 배수구가 같이 있으면 배수구의 몫은 음수로 더한다.
변형 문제
(1) 배수구가 있는 물탱크. 수도꼭지로 3시간이면 가득 차고, 배수구를 열면 6시간 만에 다 빠지는 물탱크가 있다. 둘을 동시에 열면?
$$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad 6 \text{시간}$$
(2) 도중에 합류하기. 위 문제에서 A가 먼저 2일 일하고 나머지를 둘이 함께 했다면? A가 한 일은 $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$이므로 남은 일은 $\dfrac{2}{3}$이다. 함께 하면 하루에 $\dfrac{1}{4}$씩 하므로
$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \text{ (일)}$$
전체로는 $2 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{14}{3}$일이 걸린다.
(3) 사람 수로 환산하기. "8명이 6일에 끝내는 일을 12명이 하면?" 전체 일을 $8 \times 6 = 48$(사람·일)로 보면 $48 \div 12 = 4$일. 단위량을 "한 사람이 하루에 하는 일"로 잡은 것이다.