문제
12 km 떨어진 두 지점에서 두 사람이 마주 보고 동시에 출발했다. 한 사람은 시속 4 km, 다른 사람은 시속 6 km로 걷는다. 두 사람은 몇 시간 후에 만나는가?
🔑 핵심 아이디어
각자의 위치를 따로 계산하지 말고 둘 사이의 거리를 하나의 양으로 본다. 그 거리가 1시간에 얼마씩 줄어드는지가 이 문제의 속력이다.
$$(\text{걸리는 시간}) = \frac{\text{벌어진 거리}}{\text{가까워지는 속력}}$$
- 마주 보고 갈 때: 가까워지는 속력 $= 4 + 6 = 10$ (속력의 합)
- 같은 방향으로 쫓아갈 때: 가까워지는 속력 $= 6 - 4 = 2$ (속력의 차)
풀이
1단계 — 사이의 거리와 그 변화율을 적는다. 처음 사이 거리는 12 km, 마주 보고 가므로 1시간에 $4 + 6 = 10$ km씩 줄어든다.
2단계 — 나눈다.
$$\frac{12}{10} = 1.2 \text{ (시간)}$$
3단계 — 단위를 바꾼다. $0.2$시간 $= 0.2 \times 60 = 12$분이므로 답은 1시간 12분 후다.
검산해 보자. 1.2시간 동안 한 사람은 $4 \times 1.2 = 4.8$ km, 다른 사람은 $6 \times 1.2 = 7.2$ km를 갔고, 합이 $4.8 + 7.2 = 12$ km로 처음 거리와 같다.
왜 그렇게 되나
관찰자를 한 사람 위에 올려놓으면, 그 사람이 보기에 자기는 가만히 있고 상대만 움직인다. 이때 상대가 다가오는 속력이 상대 속력이다.
- 마주 볼 때는 서로가 서로에게 다가가므로 속력이 더해진다.
- 같은 방향이면 앞사람이 도망가는 만큼 상쇄되어 속력이 빠진다. 그래서 속력이 같으면 영원히 못 따라잡는다(차가 0).
이 관점을 잡으면 "두 사람 문제"가 거리·속력·시간의 한 사람 문제로 되돌아온다. 사람이 셋이든 넷이든, 보는 것은 언제나 한 쌍 사이의 거리다.
⚠️ 흔한 실수
합과 차를 반대로 쓰기. 방향을 그림으로 그려 화살표 두 개를 그려보면 헷갈리지 않는다. 화살표가 서로를 향하면 합, 같은 쪽을 보면 차다.
출발 시각이 다른 것을 놓치기. 한 사람이 먼저 출발했다면, 그 시간 동안 벌어진 거리를 먼저 구해 "처음 사이 거리"로 삼아야 한다.
따라잡는 데 걸린 시간과 전체 시간을 혼동하기. 아래 (1)에서 답 20분은 형이 출발한 뒤의 시간이다. 동생이 걸은 시간은 30분이다.
변형 문제
(1) 따라잡기. 동생이 분속 60 m로 집을 나서고, 10분 뒤 형이 분속 90 m로 뒤따라갔다. 형은 몇 분 만에 따라잡는가?
먼저 벌어진 거리는 $60 \times 10 = 600$ m. 가까워지는 속력은 $90 - 60 = 30$ m/분이므로
$$\frac{600}{30} = 20 \text{ (분)}$$
(2) 트랙 한 바퀴 차이. 둘레 400 m 트랙을 분속 250 m와 분속 200 m로 같은 방향으로 돈다면, 빠른 쪽이 느린 쪽을 한 바퀴 앞지르는 데 걸리는 시간은 $\dfrac{400}{250 - 200} = 8$분이다. "벌어진 거리"가 한 바퀴로 바뀌었을 뿐 식은 같다.
(3) 강물 위의 배. 배의 속력 $b$, 강물의 속력 $s$일 때 하류로는 $b + s$, 상류로는 $b - s$다. 강물이 "상대 속도"를 만들어 준다는 점에서 같은 틀이다.
(4) 시곗바늘도 같은 문제다. 트랙 대신 시계판 위에서 분침이 시침을 따라잡는 상황이 시계 바늘 문제다.
쓰이는 개념
- 한 사람일 때의 기본형은 거리·속력·시간 문제다
- 만나는 시각을 $x$로 두고 세우면 일차방정식이 된다
- 사이 거리와 시간은 정비례한다