문제
네 번의 시험 평균이 82점이다. 다섯 번째 시험에서 몇 점을 받아야 평균이 85점이 되는가?
🔑 핵심 아이디어
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 평균이 주어졌으면 언제나 총합으로 되돌릴 수 있다.
$$(\text{총합}) = (\text{평균}) \times (\text{개수})$$
평균끼리는 더할 수 없지만 총합끼리는 더할 수 있다. 그래서 평균 문제는 총합의 세계로 옮겨서 푼다.
풀이
1단계 — 지금까지의 총합.
$$82 \times 4 = 328 \text{ (점)}$$
2단계 — 목표 총합. 다섯 번 평균이 85가 되려면
$$85 \times 5 = 425 \text{ (점)}$$
3단계 — 차이가 곧 답이다.
$$425 - 328 = 97 \text{ (점)}$$
97점을 받아야 한다.
왜 그렇게 되나
평균을 3점 올리려면 5과목 전체가 3점씩 올라야 하니 $3 \times 5 = 15$점이 더 필요하다. 그 15점을 마지막 한 과목이 혼자 감당해야 한다. 즉
$$85 + 15 = 100 \quad ?$$
이 아니라, 새 과목은 자기 몫 85점 위에 나머지 네 과목이 모자란 만큼을 얹어야 한다. 기존 네 과목은 목표보다 과목당 $85 - 82 = 3$점씩, 모두 $3 \times 4 = 12$점 모자라므로
$$85 + 12 = 97$$
이렇게 보면 평균은 서로 넘치고 모자란 것을 메워 평평하게 만든 높이라는 뜻이 드러난다. 평균보다 위에 있는 부분의 합과 아래에 있는 부분의 합이 정확히 같아지는 지점이 평균이다.
⚠️ 흔한 실수
평균끼리 평균 내기. 개수가 다르면 평균의 평균은 전체 평균이 아니다. 아래 (1)에서 다룬다.
개수를 바꾸는 것을 잊기. 시험이 4번에서 5번으로 늘었는데 목표 총합을 $85 \times 4$로 계산하면 어긋난다.
속력의 평균에 이 식을 그대로 쓰기. 속력은 시간이 가중치라서 단순 평균이 아니다 — 거리·속력·시간 문제의 왕복 평균 속력을 보라.
변형 문제
(1) 가중평균. 남학생 20명의 평균이 70점, 여학생 30명의 평균이 80점일 때 전체 평균은 75점이 아니다. 총합으로 가면
$$\frac{70 \times 20 + 80 \times 30}{20 + 30} = \frac{1400 + 2400}{50} = \frac{3800}{50} = 76$$
사람이 많은 쪽(여학생, 80점)으로 답이 끌려간다. 소금물 농도 문제에서 농도가 다른 소금물을 섞을 때와 완전히 같은 계산이다.
(2) 한 값을 바꾸면 평균이 얼마나 움직이나. 5개 값의 평균이 85일 때 한 값을 10점 올리면 평균은 $10 \div 5 = 2$점 오른다. 한 사람의 변화는 인원수로 나뉘어 퍼진다.
(3) 평균과 중앙값. 100명 중 한 명의 소득이 극단적으로 크면 평균은 크게 흔들리지만 중앙값은 거의 움직이지 않는다. 어떤 대푯값을 쓸지는 자료의 모양에 달렸다.