# 포물선 분야: 기하 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%8F%AC%EB%AC%BC%EC%84%A0 --- ## 정의 평면 위에 한 점 $F$(초점이라 한다)와 이 점을 지나지 않는 한 직선 $l$(준선이라 한다)이 있을 때, $F$까지의 거리와 $l$까지의 거리가 같은 점들의 집합을 **포물선**이라 한다. 즉 포물선 위의 점 $P$는 항상 $$\overline{PF} = d(P, l)$$ 을 만족한다. 여기서 $d(P, l)$은 점 $P$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발까지의 거리를 뜻한다. 초점이 $F(p, 0)$이고 준선이 $x = -p$ ($p \neq 0$)인 포물선의 방정식은 다음과 같이 유도된다. 점 $P(x, y)$에 대해 $$\sqrt{(x-p)^2 + y^2} = x + p$$ 양변을 제곱하여 정리하면 $$y^2 = 4px$$ 를 얻는다. 이 포물선은 꼭짓점이 원점이고 $x$축을 축으로 가지며, $p>0$이면 오른쪽으로, $p<0$이면 왼쪽으로 열린다. 같은 방법으로 초점이 $(0, p)$, 준선이 $y=-p$인 포물선은 $x^2 = 4py$이며, 이는 이차함수 $y = \dfrac{1}{4p}x^2$과 같은 그래프다. ## 직관 포물선을 "초점에서 재고, 준선에서 재도 똑같은 거리가 나오는 점들의 자취"라고 생각하면, 마치 초점 쪽으로 당기는 힘과 준선 쪽으로 미는 힘이 정확히 균형을 이루는 곡선처럼 그려진다. 꼭짓점(원점)은 초점과 준선까지의 거리가 각각 $|p|$로 가장 짧아지는 지점이고, 곡선이 초점에서 멀어질수록 준선에서도 그만큼 멀어지도록 자연스럽게 휘어진다. 이미 알고 있는 이차함수 $y=ax^2$의 그래프도 사실 포물선이다. $x^2=4py$ 꼴로 바꾸면 $y = \dfrac{1}{4p}x^2$이므로, $a = \dfrac{1}{4p}$인 것이다. 즉 포물선은 "초점·준선"이라는 기하학적 정의로 이차함수 그래프를 다시 보는 관점이다. ## 성질 - **축**: 초점과 꼭짓점을 지나는 직선으로, 포물선은 이 축에 대해 선대칭이다. - **초점과의 거리 최소**: 꼭짓점은 포물선 위의 점 중 초점까지의 거리가 가장 짧다. - **반사성**: 축에 평행하게 들어온 빛(또는 전파)은 포물면에 반사되어 모두 초점으로 모인다. 반대로 초점에서 나온 빛은 반사 후 축에 평행하게 나간다. - **평행이동**: 꼭짓점이 $(h,k)$인 포물선은 $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ 또는 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 꼴이며, 초점과 준선도 꼭짓점만큼 함께 평행이동한다. ## 예시 **예시 1.** 포물선 $y^2 = 8x$의 초점과 준선을 구해보자. $4p = 8$이므로 $p = 2$. 따라서 초점은 $(2, 0)$, 준선은 $x = -2$이다. **예시 2.** 초점이 $(0, -3)$, 준선이 $y=3$인 포물선의 방정식을 구해보자. 축이 $y$축이고 초점이 원점 아래에 있으므로 $x^2 = 4py$ 꼴이고 $p = -3$이다. 따라서 방정식은 $$x^2 = -12y$$ **예시 3.** 꼭짓점이 $(1, 2)$이고 초점이 $(3, 2)$인 포물선의 방정식을 구해보자. 축이 $x$축과 평행하고 $p = 3-1 = 2$이므로 $$(y-2)^2 = 8(x-1)$$ 그래프: y=x^2/8 (정의역 -6~6) 위 그래프는 $x^2 = 8y$, 즉 초점이 $(0,2)$, 준선이 $y=-2$인 포물선이다. ## 🌍 실생활 예시 위성 안테나(파라볼라 안테나)의 접시 단면은 포물선 모양이다. 먼 우주에서 오는 전파는 접시 축에 거의 평행하게 들어오는데, 포물선의 반사성 덕분에 이 전파들이 모두 한 점(초점)으로 모이고, 그 자리에 수신 장치를 두면 미약한 신호를 효율적으로 모아 증폭할 수 있다. 자동차 전조등이나 손전등도 반대로, 초점에 전구를 두어 빛을 평행하게 멀리 보내는 데 같은 원리를 이용한다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $y^2 = 8x$에서 초점이 $(8, 0)$이라고 생각한다. → **왜 틀렸는가**: $y^2 = 4px$ 꼴에서 $4p$가 계수이므로 $8 = 4p$를 풀어 $p=2$를 구해야 한다. 계수를 곧바로 $p$로 착각하면 안 된다. - **잘못된 생각**: 준선까지의 거리를 구할 때 그냥 점의 $x$좌표를 쓴다. → **왜 틀렸는가**: 준선까지의 거리는 점에서 준선까지 수직으로 내린 거리, 즉 $|x - (-p)| = x+p$ (준선이 $x=-p$일 때)이지, $x$좌표 자체가 아니다. - **잘못된 생각**: 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선도 초점과 준선이 원점 기준 공식 그대로라고 생각한다. → **왜 틀렸는가**: 꼭짓점이 $(h,k)$로 이동하면 초점과 준선도 함께 평행이동해야 한다. 예를 들어 $(y-k)^2=4p(x-h)$의 초점은 $(h+p, k)$이지 $(p, 0)$이 아니다. ## 확인 문제 1. 포물선 $y^2 = -12x$의 초점과 준선을 구하시오. 2. 초점이 $(0, 5)$이고 준선이 $y = -5$인 포물선의 방정식을 구하시오. 3. (개념을 파고드는 문제) 포물선 위의 임의의 점 $P$에서 초점 $F$까지의 거리와 준선까지의 거리가 항상 같다는 정의를 이용해, $y^2=4x$ 위의 점 $(1, 2)$에서 초점 $(1,0)$까지의 거리와 준선 $x=-1$까지의 거리를 각각 직접 계산해 서로 같은지 확인하시오. 정답 보기: 1. $4p=-12$이므로 $p=-3$. 초점은 $(-3, 0)$, 준선은 $x=3$. 2. 축이 $y$축이고 초점이 원점 위에 있으므로 $x^2=4py$, $p=5$. 방정식은 $x^2=20y$. 3. 초점까지 거리: $\sqrt{(1-1)^2+(2-0)^2} = 2$. 준선까지 거리: $1-(-1)=2$. 두 값이 모두 $2$로 같으므로, 이 점이 실제로 포물선의 정의(초점과 준선까지 거리가 같음)를 만족함을 확인할 수 있다. ## 관련 개념 - 이차함수 — 포물선은 축이 좌표축과 평행할 때 이차함수의 그래프와 같은 곡선이다. - 직선의 방정식 — 준선과 축을 표현하는 데 필요하다. - 평면좌표 — 초점과 준선까지의 거리를 좌표로 계산하는 바탕이 된다. - 이차곡선 — 포물선은 타원, 쌍곡선과 함께 이차곡선의 한 종류다. - 타원, 쌍곡선 — 초점을 이용해 정의되는 다른 이차곡선들이다. --- 관련 개념: - 이차함수 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98) - 직선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A7%81%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C) - 이차곡선 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EA%B3%A1%EC%84%A0) - 타원 (/wiki/math/%ED%83%80%EC%9B%90) - 쌍곡선 (/wiki/math/%EC%8C%8D%EA%B3%A1%EC%84%A0)