# 정비례와 반비례 분야: 해석 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A0%95%EB%B9%84%EB%A1%80%EC%99%80_%EB%B0%98%EB%B9%84%EB%A1%80 --- ## 정의 두 변수 $x$, $y$ 사이에 다음 관계가 성립할 때를 각각 정비례, 반비례라고 한다. - **정비례**: $y = ax$ ($a$는 0이 아닌 상수, "에이"라고 읽는다) 꼴로 나타나면, $y$는 $x$에 **정비례**한다고 한다. - **반비례**: $y = \dfrac{a}{x}$ ($a$는 0이 아닌 상수) 꼴로 나타나면, $y$는 $x$에 **반비례**한다고 한다. 여기서 $a$를 **비례상수**라고 부른다. 정비례에서는 $\dfrac{y}{x} = a$(일정), 반비례에서는 $xy = a$(일정)가 항상 성립한다. ## 직관 정비례는 "많아지면 같이 많아지는" 관계다. $x$가 2배, 3배가 되면 $y$도 2배, 3배가 된다. 예를 들어 한 자루에 500원인 연필을 살 때, 사는 개수가 늘어나는 만큼 내야 하는 돈도 똑같은 비율로 늘어난다. 반비례는 "많아지면 대신 적어지는" 관계다. $x$가 2배가 되면 $y$는 $\dfrac{1}{2}$배가 되어, 둘을 곱한 값 $xy$는 항상 똑같이 유지된다. 예를 들어 정해진 양의 물을 여러 사람이 나눠 마신다면, 사람 수(x)가 늘수록 한 사람 몫(y)은 줄어들지만 "사람 수 × 한 사람 몫"은 항상 전체 물의 양으로 일정하다. ## 성질 | 구분 | 식 | 그래프 | |---|---|---| | 정비례 | $y=ax$ | 원점을 지나는 직선. $a>0$이면 오른쪽 위로, $a<0$이면 오른쪽 아래로 향한다. | | 반비례 | $y=\dfrac{a}{x}$ | 원점을 지나지 **않는** 두 개의 매끄러운 곡선(쌍곡선). $x$축, $y$축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다. | ## 예시 $y=2x$는 정비례 관계다. $x=1,2,3$일 때 $y=2,4,6$이고, $\dfrac{y}{x}=2$로 항상 같다. $y=\dfrac{6}{x}$는 반비례 관계다. $x=1,2,3,6$일 때 $y=6,3,2,1$이고, $xy=6$으로 항상 같다. 그래프: y=2*x, y=6/x (정의역 -5~5) ## 🌍 실생활 예시 자동차 여행을 생각해 보자. 속력이 일정하다면 이동 거리는 걸린 시간에 **정비례**한다(시간이 2배면 거리도 2배). 반대로 목적지까지 거리가 정해져 있다면, 속력과 걸리는 시간은 **반비례** 관계다(속력을 2배로 올리면 시간은 절반으로 준다). 같은 여행 상황에서도 무엇을 고정하느냐에 따라 정비례와 반비례가 모두 나타난다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $y=ax+b$ ($b\neq 0$) 도 그래프가 직선이니까 정비례라고 생각한다. → **왜 틀렸는지**: 정비례는 반드시 $b=0$이어서 원점을 지나야 한다. $b\neq 0$이면 그냥 일차함수일 뿐 정비례가 아니다. - **잘못된 생각**: 반비례에서도 $x$가 2배가 되면 $y$도 2배가 된다고 착각한다. → **왜 틀렸는지**: 반비례는 곱 $xy$가 일정한 관계이므로, $x$가 2배가 되면 $y$는 오히려 $\dfrac{1}{2}$배가 되어야 곱이 유지된다. - **잘못된 생각**: 반비례 그래프도 정비례처럼 원점을 지난다고 생각한다. → **왜 틀렸는지**: $y=\dfrac{a}{x}$는 $x=0$일 때 정의되지 않으므로($0$으로 나눌 수 없다) 그래프는 원점을 절대 지나지 않고, 원점 주변에서 두 갈래로 갈라진 곡선 모양이 된다. ## 확인 문제 1. $y$가 $x$에 정비례하고, $x=3$일 때 $y=12$이다. 비례상수 $a$를 구하고, $x=5$일 때 $y$의 값을 구하시오. 2. $y=\dfrac{12}{x}$에서 $x=1,2,3,4,6,12$일 때 $y$값을 각각 구하고, 그때마다 $xy$의 값을 계산해 보시오. 이 결과를 통해 반비례 관계에서 항상 일정하게 유지되는 것이 무엇인지 설명하시오. 3. 넓이가 $24\text{ cm}^2$인 직사각형의 가로 길이를 $x\text{ cm}$, 세로 길이를 $y\text{ cm}$라 하자. $x$와 $y$ 사이의 관계식을 세우고, 이 관계가 정비례인지 반비례인지 말하시오. 정답 보기: 1. $a = \dfrac{12}{3} = 4$이므로 $y=4x$. $x=5$일 때 $y = 4\times 5 = 20$. 2. $x=1,2,3,4,6,12$일 때 $y=12,6,4,3,2,1$이며, 모든 경우 $xy=12$로 일정하다. 반비례에서는 두 값의 **곱**이 항상 일정하게 유지된다. 3. 가로 × 세로 = 넓이이므로 $xy=24$, 즉 $y=\dfrac{24}{x}$. 이는 반비례 관계다. ## 관련 개념 - 함수 — 정비례와 반비례는 함수의 특수한 형태다. - 일차함수 — 정비례 $y=ax$는 일차함수 $y=ax+b$에서 $b=0$인 경우다. - 유리함수 — 반비례 $y=\dfrac{a}{x}$는 유리함수의 가장 간단한 형태다. - 평면좌표 — 정비례·반비례 그래프를 좌표평면 위에 그려 이해한다. - 문자와 식 — $x,y,a$와 같은 문자로 관계식을 세우는 기초가 된다. --- 관련 개념: - 일차함수 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98) - 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98) - 유리함수 (/wiki/math/%EC%9C%A0%EB%A6%AC%ED%95%A8%EC%88%98) - 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C) - 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)