# 쌍곡선 분야: 기하 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%8C%8D%EA%B3%A1%EC%84%A0 --- ## 정의 평면 위에 서로 다른 두 점 $F$, $F'$(초점이라 한다)이 있을 때, 이 두 점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 **쌍곡선**이라 한다. 즉, 점 $P$가 쌍곡선 위의 점이면 $$|\overline{PF} - \overline{PF'}| = 2a \quad (a > 0,\ \text{일정})$$ 이 성립한다. 두 초점이 $x$축 위에서 원점에 대해 대칭인 점 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$일 때, 쌍곡선의 **표준방정식**은 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (b^2 = c^2 - a^2,\ a>0,\ b>0)$$ 이다. 이 쌍곡선은 두 꼭짓점 $(\pm a, 0)$을 지나고, $x$축과 $y$축에 대해 대칭이다. ## 직관 타원은 두 초점까지의 거리의 **합**이 일정한 점들의 자취였다. 쌍곡선은 그 합 대신 거리의 **차**가 일정하다는 점만 다르다. 실을 이용한 타원 그리기와 비슷하게, 쌍곡선은 두 점에서 뻗어 나가는 두 갈래의 곡선(가지)으로 나뉜다 — $F$에 더 가까운 가지와 $F'$에 더 가까운 가지다. 또 하나의 핵심 그림은 **점근선**이다. 쌍곡선은 원점에서 멀어질수록 두 직선 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$에 한없이 가까워지지만 절대 만나지는 않는다. 이 두 직선을 마치 쌍곡선을 가두는 "울타리"처럼 생각하면 그래프의 전체 모양을 쉽게 그릴 수 있다. ## 성질 - **점근선**: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선(곡선이 한없이 가까워지는 직선)은 $y = \dfrac{b}{a}x$, $y = -\dfrac{b}{a}x$이다. 이는 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$을 인수분해하여 얻는다. - **초점**과의 관계: $c^2 = a^2 + b^2$ (타원의 $c^2 = a^2 - b^2$와 부호가 반대임에 유의). - **이심률**($e$, 이라 읽는다): $e = \dfrac{c}{a} > 1$이다. 쌍곡선은 항상 이심률이 1보다 크다. - $y$축이 주축인 경우: $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$의 꼴이며, 꼭짓점은 $(0, \pm a)$, 초점은 $(0, \pm c)$이다. ## 예시 **예시 1.** 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$에서 $a^2 = 9$, $b^2 = 16$이므로 $a=3$, $b=4$이고, $c^2 = a^2+b^2 = 25$이므로 $c=5$이다. 따라서 초점은 $(5,0)$, $(-5,0)$, 꼭짓점은 $(3,0)$, $(-3,0)$, 점근선은 $y = \pm \dfrac{4}{3}x$이다. **예시 2.** 초점이 $(4,0)$, $(-4,0)$이고 두 초점까지의 거리의 차가 $6$인 쌍곡선을 구하자. $2a = 6$이므로 $a=3$, $c=4$이므로 $b^2 = c^2-a^2 = 16-9=7$이다. 따라서 방정식은 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{7} = 1$이다. 그래프: y=4/3*sqrt(x^2-9), y=-4/3*sqrt(x^2-9), y=4/3*x, y=-4/3*x (정의역 -8~8) ## 🌍 실생활 예시 과거 선박·항공기의 위치를 찾던 로란(LORAN) 항법 시스템은 쌍곡선의 정의를 그대로 이용했다. 두 개의 지상 송신국에서 동시에 신호를 보내면, 수신기는 두 신호의 도착 시간 차이로부터 두 송신국까지의 **거리의 차**를 알아낼 수 있다. 거리의 차가 일정한 점들의 집합이 바로 쌍곡선이므로, 하나의 시간 차 측정값은 배가 있을 수 있는 위치를 하나의 쌍곡선 위로 좁혀 준다. 두 쌍의 송신국을 이용해 두 쌍곡선을 그리면 그 교점에서 배의 정확한 위치를 알아낼 수 있다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: 쌍곡선도 타원처럼 두 초점까지의 거리의 "합"이 일정하다고 착각한다. → **왜 틀렸는지**: 쌍곡선은 거리의 **차**(절댓값)가 일정한 것이며, 합이 일정한 것은 타원의 정의다. 두 개념을 반드시 구분해야 한다. - **잘못된 생각**: $c^2 = a^2 + b^2$를 타원처럼 $c^2 = a^2 - b^2$로 착각해서 부호를 반대로 쓴다. → **왜 틀렸는지**: 쌍곡선에서는 $c$가 $a$보다 항상 크고($e>1$), $b^2$가 초점 거리를 늘리는 방향으로 작용하므로 덧셈이 맞다. 타원은 $c