# 삼각비 분야: 기하 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84 --- ## 정의 직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각의 크기가 정해지면, 그 각을 기준으로 세 변의 길이의 비가 항상 일정하게 정해진다. 이 비를 **삼각비**라고 한다. 직각삼각형에서 예각 $A$($A$는 각의 이름, "각 에이"라고 읽는다)를 기준으로 세 변을 다음과 같이 부른다. - 빗변: 직각과 마주 보는 가장 긴 변 - 대변: 각 $A$와 마주 보는 변 - 밑변: 각 $A$와 빗변을 제외한 나머지 변 이때 세 가지 삼각비를 다음과 같이 정의한다. $$\sin A = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}, \qquad \cos A = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}, \qquad \tan A = \frac{\text{대변}}{\text{밑변}}$$ $\sin A$(사인 A), $\cos A$(코사인 A), $\tan A$(탄젠트 A)라고 읽는다. ## 직관 같은 크기의 각을 가진 직각삼각형은 크기가 달라도 모두 닮은 도형이다. 닮은 도형에서는 대응변의 비율이 항상 같으므로, 각의 크기만 정해지면 삼각형이 아무리 크거나 작아도 변들의 비율(삼각비)은 절대 변하지 않는다. 즉 삼각비는 "이 각이 얼마나 기울어졌는지"를 숫자 하나로 나타낸 값이라고 생각하면 된다. 각이 커질수록 대변에 비해 빗변이 상대적으로 짧아지므로 $\sin A$는 커지고, 반대로 밑변이 짧아지므로 $\cos A$는 작아진다. ## 성질 - 예각 $A$에 대해 $0 < \sin A < 1$, $0 < \cos A < 1$이다. (대변과 밑변은 항상 빗변보다 짧기 때문) - $\tan A$는 0보다 크며, 각이 90°에 가까워질수록 얼마든지 커질 수 있다. - $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$ - 피타고라스 정리에 의해 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ ($\sin^2 A$는 $(\sin A)^2$을 뜻한다) **특수각의 삼각비** | 각 | $30°$ | $45°$ | $60°$ | |---|---|---|---| | $\sin$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | | $\cos$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | | $\tan$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | ($\sqrt{2}$는 "루트 2"라고 읽으며, 제곱하면 2가 되는 양수를 뜻한다) ## 예시 세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형에서 길이 4, 5인 두 변 사이의 각을 $A$라고 하자. 이때 $A$와 마주 보는 대변은 3, 밑변은 4, 빗변은 5이므로 $$\sin A = \frac{3}{5} = 0.6, \qquad \cos A = \frac{4}{5} = 0.8, \qquad \tan A = \frac{3}{4} = 0.75$$ ## 🌍 실생활 예시 건물이나 나무처럼 직접 잴 수 없는 높이를 잴 때 삼각비를 사용한다. 나무에서 20 m 떨어진 곳에 서서 나무 꼭대기를 올려다본 각(앙각)이 30°이고, 눈높이가 1.5 m라면 나무의 높이는 $$20 \times \tan 30° + 1.5 = 20 \times \frac{\sqrt3}{3} + 1.5 \approx 20 \times 0.577 + 1.5 \approx 13.04\text{ m}$$ 로 계산할 수 있다. 실제로 측량이나 건축 현장에서 각도계와 삼각비를 이용해 높이나 거리를 구하는 방식이다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **대변·밑변이 항상 고정된 변이라고 착각한다** → 대변과 밑변은 "어느 각을 기준으로 보는가"에 따라 달라진다. 같은 직각삼각형이라도 각 $A$의 대변이 각 $B$에서는 밑변이 될 수 있으므로, 항상 기준이 되는 각을 먼저 확인해야 한다. - **빗변을 구할 때 두 변을 그냥 더한다** → $\sqrt{3^2+4^2}$을 $3+4=7$로 계산하는 실수다. 빗변은 피타고라스 정리에 따라 $\sqrt{3^2+4^2}=5$이지, 두 변의 합이 아니다. - **모든 삼각비가 1보다 작다고 오해한다** → $\sin A$, $\cos A$는 항상 1보다 작지만, $\tan A$는 각이 45°보다 크면 1보다 커질 수 있다(예: $\tan 60° = \sqrt3 \approx 1.73$). ## 확인 문제 1. 직각삼각형의 세 변이 6, 8, 10일 때, 길이 6인 변과 마주 보는 각을 $A$라고 하자. $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$를 각각 구하시오. 2. 밑변이 4, 높이가 4인 직각삼각형과, 밑변이 8, 높이가 8인 직각삼각형이 있다. 두 삼각형에서 밑변과 높이 사이의 각을 각각 구해 삼각비 $\tan$ 값을 비교해 보고, 왜 삼각형의 크기가 달라도 값이 같은지 설명하시오. 3. 지면과 15°의 각도로 놓인 미끄럼틀의 경사면 길이가 5 m일 때, 미끄럼틀의 높이(지면으로부터 꼭대기까지의 수직 거리)를 삼각비를 이용해 나타내는 식을 세우시오. (계산 값은 몰라도 식만 세워도 된다) 정답 보기: 1. 대변 6, 밑변 8, 빗변 10이므로 $\sin A = \frac{6}{10}=0.6$, $\cos A=\frac{8}{10}=0.8$, $\tan A=\frac{6}{8}=0.75$. 2. 두 삼각형 모두 밑변과 높이가 같으므로($4:4$와 $8:8$) 각은 둘 다 45°이고 $\tan 45° = 1$로 동일하다. 두 삼각형은 서로 닮음이라서 크기만 다르고 변의 비율(삼각비)은 같기 때문이다. 3. 높이는 빗변(경사면)과 각 사이의 대변이므로 $\text{높이} = 5 \times \sin 15°$ (m). ## 관련 개념 - 삼각형 - 도형의 닮음 - 피타고라스 정리 - 삼각함수 - 사인법칙 · 코사인법칙 --- 관련 개념: - 도형의 닮음 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EB%8B%AE%EC%9D%8C) - 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC) - 삼각형 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95) - 삼각함수 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98) - 사인법칙 (/wiki/math/%EC%82%AC%EC%9D%B8%EB%B2%95%EC%B9%99) - 코사인법칙 (/wiki/math/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8%EB%B2%95%EC%B9%99)