도형의 닮음

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정의

두 도형이 있을 때, 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하면 다른 도형과 completely 겹쳐지는 관계를 **닮음(相似)**이라고 한다. 이때 두 도형은 서로 닮은 도형이라 하고, 기호로 $\backsim$(닮음 기호, "낫표"라고 읽는다)를 써서 나타낸다. 예를 들어 삼각형 $ABC$와 삼각형 $DEF$가 닮음이면

$$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$$

("세모 $ABC$ 닮음 세모 $DEF$"라고 읽는다)로 쓴다. 이때 대응하는 변끼리의 길이의 비를 닮음비라 하고, 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

직관

사진을 확대하거나 축소해도 사진 속 사람의 얼굴 비율은 그대로 유지된다. 지도를 실제 땅으로 늘려도 도로들 사이의 각도와 상대적인 거리 비율은 바뀌지 않는다. 닮음은 바로 이런 "모양은 그대로, 크기만 다른" 관계를 수학적으로 표현한 것이다. 즉 합동이 "모양도 크기도 완전히 같음"이라면, 닮음은 "모양은 같지만 크기는 달라도 되는" 더 넓은 개념이다. 실제로 닮음비가 $1:1$인 닮음은 곧 합동이므로, 합동은 닮음의 특수한 경우라고 볼 수 있다.

성질

두 삼각형이 다음 세 가지 조건 중 하나를 만족하면 닮음이다.

• SSS 닮음: 대응하는 세 변의 길이의 비가 모두 같다. ($a:d = b:e = c:f$)
• SAS 닮음: 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.
• AA 닮음: 대응하는 두 각의 크기가 각각 같다. (나머지 한 각도 자동으로 같아지므로 두 각만 확인하면 된다.)

닮음비가 $m:n$인 두 도형에서

• 대응하는 변의 길이의 비는 $m:n$
• 둘레의 비도 $m:n$
• 넓이의 비는 $m^2:n^2$ (닮음비를 제곱)
• (입체도형이라면) 부피의 비는 $m^3:n^3$

넓이의 비가 제곱이 되는 이유는, 변의 길이가 $k$배 늘어나면 가로와 세로가 모두 $k$배씩 늘어나 넓이는 $k \times k = k^2$배가 되기 때문이다.

예시

예시 1. $\triangle ABC$에서 $\overline{AB}=6$, $\overline{AC}=9$이고, $\triangle ADE$에서 $\overline{AD}=4$, $\overline{AE}=6$이며 $\angle A$가 공통일 때,

$$\overline{AB}:\overline{AD} = 6:4 = 3:2, \qquad \overline{AC}:\overline{AE} = 9:6 = 3:2$$

두 변의 비가 같고 끼인각 $\angle A$가 공통(같음)이므로 SAS 닮음에 의해 $\triangle ABC \backsim \triangle ADE$이고 닮음비는 $3:2$이다.

예시 2. 닮음비가 $2:5$인 두 정삼각형이 있다. 작은 정삼각형의 넓이가 $8\,\text{cm}^2$일 때 큰 정삼각형의 넓이는?

넓이의 비는 $2^2:5^2=4:25$이므로

$$8 : x = 4 : 25 \;\Rightarrow\; x = \frac{8 \times 25}{4} = 50 \,(\text{cm}^2)$$

🌍 실생활 예시

건물이나 나무처럼 직접 재기 어려운 높이를 잴 때 닮음을 이용한다. 막대기(길이 $1\,\text{m}$)를 땅에 세워 그림자 길이가 $1.5\,\text{m}$가 나왔고, 같은 시각 나무의 그림자 길이가 $12\,\text{m}$였다면, 막대기와 나무는 태양광선의 각도가 같아 만들어지는 두 직각삼각형이 AA 닮음이다. 따라서

$$1 : 1.5 = h : 12 \;\Rightarrow\; h = \frac{12}{1.5} = 8\,(\text{m})$$

로 나무의 높이를 직접 재지 않고도 구할 수 있다. 지도 축척, 사진 인화, 건축 도면의 축소 모형도 모두 같은 원리다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: "닮음비가 $2:1$이면 넓이의 비도 $2:1$이다." → 왜 틀렸는가: 넓이는 가로·세로 두 방향이 모두 늘어나므로 닮음비를 제곱해야 한다. 넓이의 비는 $2^2:1^2=4:1$이다.
• 잘못된 생각: "두 삼각형에서 대응하는 각이 하나만 같으면 닮음이다." → 왜 틀렸는가: 각 하나만 같아서는 모양이 얼마든지 달라질 수 있다. AA 닮음이 성립하려면 대응하는 각이 두 개 이상 같아야 한다(세 번째 각은 삼각형 내각의 합이 $180°$이므로 자동으로 같아진다).
• 잘못된 생각: "변의 길이 두 쌍의 비가 같으면 닮음이다(SSA로 오인)." → 왜 틀렸는가: SAS 닮음은 두 변의 비가 같고 그 끼인각이 같아야 한다. 끼인각이 아닌 다른 각이 같은 경우(SSA)는 닮음을 보장하지 못한다.

확인 문제

1. 닮음비가 $3:4$인 두 정사각형이 있다. 작은 정사각형의 넓이가 $27\,\text{cm}^2$일 때, 큰 정사각형의 넓이를 구하시오.
2. 가로, 세로가 각각 $2\,\text{cm}$, $3\,\text{cm}$인 직사각형을 닮음비 $1:3$으로 확대한 직사각형을 그려 보고, 넓이가 실제로 $3^2=9$배가 되는지 직접 계산으로 확인하시오. (이 문제를 통해 "넓이의 비 = 닮음비의 제곱"이 왜 성립하는지 스스로 확인해 보자.)
3. $\triangle ABC$에서 $\angle B = 50°$, $\angle C = 70°$이고 $\triangle DEF$에서 $\angle E = 50°$, $\angle F = 60°$일 때, 두 삼각형이 닮음인지 판단하시오.

관련 개념

• 삼각형, 다각형: 닮음을 정의하는 기본 도형들이다.
• 합동과 대칭: 닮음비가 $1:1$인 특수한 닮음이다.
• 삼각비: 직각삼각형의 닮음 관계에서 변의 비가 각의 크기에 의해 결정된다는 사실에서 출발한다.
• 피타고라스 정리: 직각삼각형의 닮음을 이용해 증명할 수 있다.
• 삼각형의 성질: 닮음 조건과 함께 삼각형의 각·변 사이의 관계를 다룬다.