합동과 대칭

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정의

합동은 모양과 크기가 완전히 같아서, 하나를 포개었을 때 다른 하나와 빈틈없이 딱 겹쳐지는 두 도형을 말해요. 뒤집거나 돌려서 겹쳐도 합동이라고 해요.

대칭은 도형을 어떤 선이나 점을 기준으로 접거나 돌렸을 때 완전히 겹쳐지는 성질이에요. 반으로 접어서 겹치면 선대칭도형(그 선을 대칭축이라 해요), 한 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 겹치면 점대칭도형(그 점을 대칭의 중심이라 해요)이라고 불러요.

직관

색종이 두 장을 오려서 겹쳐 보면, 완전히 딱 맞는 것과 조금이라도 어긋나는 것이 있어요. 완전히 딱 맞는 두 장이 바로 합동인 도형이에요.

대칭은 "종이접기"로 생각하면 쉬워요. 나비 그림을 세로로 접었을 때 양쪽 날개가 겹치죠? 그게 선대칭이에요. 반면 팽이나 바람개비처럼 한가운데를 중심으로 반 바퀴(180도) 돌렸을 때 처음 모습과 똑같아 보이면 점대칭이에요.

성질

• 합동인 두 도형에서 서로 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각, 겹치는 점을 대응점이라고 해요. 합동인 두 도형은 대응변의 길이가 서로 같고, 대응각의 크기도 서로 같아요.
• 선대칭도형은 대칭축을 따라 접으면 완전히 겹쳐요. 이때 서로 겹치는 대응점끼리 이은 선분은 대칭축과 직각으로 만나고, 대칭축이 그 선분을 정확히 반으로 나눠요.
• 점대칭도형은 대칭의 중심을 지나는 선분으로 대응점끼리 이으면, 그 선분이 항상 대칭의 중심을 지나면서 정확히 반으로 나뉘어요.

예시

정삼각형 두 개가 크기와 모양이 완전히 같다면 두 도형은 합동이에요. 예를 들어 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄹㅁㅂ이 합동이고, 변 ㄱㄴ이 5cm, 변 ㄴㄷ이 7cm, 변 ㄷㄱ이 6cm라면, 대응변인 변 ㄹㅁ은 5cm, 변 ㅁㅂ은 7cm, 변 ㅂㄹ은 6cm예요.

정사각형은 대칭축이 4개(가로선, 세로선, 두 대각선)나 있는 선대칭도형이면서, 중심을 기준으로 180도 돌려도 겹치는 점대칭도형이기도 해요.

🌍 실생활 예시

화장실이나 부엌 바닥에 깔린 정사각형 타일들은 서로 모두 합동이에요. 크기와 모양이 완전히 같기 때문에 빈틈이나 겹침 없이 바닥 전체를 딱 맞게 채울 수 있어요. 만약 타일 모양이 조금씩 다르다면(합동이 아니라면) 바닥에 틈이 생기거나 어긋나서 제대로 깔 수 없겠죠.

⚠️ 흔은 실수

• 잘못된 생각: "크기가 같아 보이면 무조건 합동이다." → 왜 틀렸는지: 모양이 조금이라도 다르면(예: 직사각형과 평행사변형) 둘레 길이가 같아도 합동이 아니에요. 포개었을 때 변과 각이 정확히 겹쳐야만 합동이에요.
• 잘못된 생각: "한 번 접어서 완전히 안 겹치면 대칭이 아니다." → 왜 틀렸는지: 어떤 도형은 선대칭이 아니어도 점대칭일 수 있어요(예: 알파벳 N, S). 접어서 안 겹친다고 바로 "대칭이 아니다"라고 단정하지 말고, 돌려서도 확인해봐야 해요.
• 잘못된 생각: "합동인 도형은 방향까지 똑같아야 한다." → 왜 틀렸는지: 합동은 뒤집거나 돌려서 겹치는 것도 인정해요. 방향이 반대로 뒤집혀 있어도 모양과 크기가 같으면 합동이에요.

확인 문제

1. 알파벳 대문자 H, O, X, N, S 중에서 선대칭도형이면서 동시에 점대칭도형인 것을 모두 찾아보세요. 그리고 N과 S는 왜 점대칭이지만 선대칭은 아닌지 이유를 설명해보세요.
2. 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄹㅁㅂ이 합동이고, 변 ㄱㄴ=4cm, 변 ㄴㄷ=6cm, 변 ㄷㄱ=8cm입니다. 대응변인 변 ㄹㅁ의 길이는 몇 cm일까요?
3. 정사각형 모양 색종이를 한 번 접어서 완전히 겹치게 하는 방법은 모두 몇 가지일까요? (대칭축이 몇 개인지 세어보세요.)

관련 개념

• 도형의 이동 — 도형을 밀고 뒤집고 돌리는 방법을 먼저 알아야 합동과 대칭을 이해하기 쉬워요.
• 다각형 — 삼각형, 사각형 같은 다각형에서 합동과 대칭을 자주 확인해요.
• 삼각형의 성질 — 합동인 삼각형의 대응변·대응각 성질과 이어져요.
• 도형의 닮음 — 크기는 달라도 모양이 같은 경우로, 합동과 함께 비교하며 배우게 돼요.