문서에 없던 ## 유도와 ## 📜 역사를 추가하고, ## ⚠️ 흔은 실수 제목의 오타만 고쳐서 전체 문서를 다시 출력합니다.
합동은 모양과 크기가 완전히 같아서, 하나를 포개었을 때 다른 하나와 빈틈없이 딱 겹쳐지는 두 도형을 말해요. 뒤집거나 돌려서 겹쳐도 합동이라고 해요.
대칭은 도형을 어떤 선이나 점을 기준으로 접거나 돌렸을 때 완전히 겹쳐지는 성질이에요. 반으로 접어서 겹치면 선대칭도형(그 선을 대칭축이라 해요), 한 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 겹치면 점대칭도형(그 점을 대칭의 중심이라 해요)이라고 불러요.
색종이 두 장을 오려서 겹쳐 보면, 완전히 딱 맞는 것과 조금이라도 어긋나는 것이 있어요. 완전히 딱 맞는 두 장이 바로 합동인 도형이에요.
대칭은 "종이접기"로 생각하면 쉬워요. 나비 그림을 세로로 접었을 때 양쪽 날개가 겹치죠? 그게 선대칭이에요. 반면 팽이나 바람개비처럼 한가운데를 중심으로 반 바퀴(180도) 돌렸을 때 처음 모습과 똑같아 보이면 점대칭이에요.
이미 도형의 이동에서 도형을 밀기(제자리에서 옮기기), 뒤집기(거울처럼 반대로 만들기), 돌리기(한 점을 중심으로 회전하기)로 움직일 수 있다는 것을 배웠어요. 이 세 가지 움직임을 가지고 두 가지 질문을 풀어 볼게요.
질문 1: 두 도형이 "완전히 같은 도형"인지 어떻게 확인할까?
모양이 비슷해 보이는 두 도형을 그냥 눈으로만 봐서는 정말 같은지 알기 어려워요. 그런데 두 도형이 서로 다른 위치, 다른 방향으로 놓여 있어도, 하나를 밀고 뒤집고 돌려서 다른 하나 위에 완전히 포갤 수 있다면 그 둘은 처음부터 같은 모양·같은 크기였다는 뜻이에요. 이렇게 이동시켜서 완전히 겹칠 수 있는 두 도형을 합동이라고 부르기로 한 거예요. 즉 합동은 "이동으로 확인하는 완전히 같음"이에요.
질문 2: 도형 하나가 스스로와 겹치는 특별한 경우는 뭘까?
이번엔 도형이 두 개가 아니라 하나만 있다고 생각해 봐요. 이 도형을 이동시켰는데, 움직이기 전과 움직인 후의 모습이 정확히 겹친다면 어떨까요? 여기서 어떤 이동을 썼는지에 따라 두 가지로 나뉘어요.
질문 3: 대칭축은 왜 대응점을 잇는 선분을 정확히 반으로, 직각으로 나눌까?
선대칭도형을 대칭축을 따라 접었다고 생각해 봐요. 접었을 때 점 A가 점 A'에 완전히 포개진다면, 접는 선(대칭축) 위의 어느 점에서 재도 그 점까지의 거리는 접기 전이나 후나 똑같아요. 종이를 접었다 펴면 점 A와 점 A'는 접힌 선을 사이에 두고 서로 반대쪽에 정확히 같은 거리만큼 떨어져 있고, 두 점을 곧게 이은 선분은 접힌 선과 어긋남 없이 딱 맞부딪혀요. 이 부딪히는 모습이 바로 "직각으로 만나고 정확히 반으로 나뉜다"는 성질이에요. 이렇게 종이접기라는 구체적인 동작 하나로 대칭축의 성질이 자연스럽게 나와요.
정삼각형 두 개가 크기와 모양이 완전히 같다면 두 도형은 합동이에요. 예를 들어 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄹㅁㅂ이 합동이고, 변 ㄱㄴ이 5cm, 변 ㄴㄷ이 7cm, 변 ㄷㄱ이 6cm라면, 대응변인 변 ㄹㅁ은 5cm, 변 ㅁㅂ은 7cm, 변 ㅂㄹ은 6cm예요.
정사각형은 대칭축이 4개(가로선, 세로선, 두 대각선)나 있는 선대칭도형이면서, 중심을 기준으로 180도 돌려도 겹치는 점대칭도형이기도 해요.
화장실이나 부엌 바닥에 깔린 정사각형 타일들은 서로 모두 합동이에요. 크기와 모양이 완전히 같기 때문에 빈틈이나 겹침 없이 바닥 전체를 딱 맞게 채울 수 있어요. 만약 타일 모양이 조금씩 다르다면(합동이 아니라면) 바닥에 틈이 생기거나 어긋나서 제대로 깔 수 없겠죠.
고대 그리스 수학자 유클리드는 기원전 300년경에 쓴 《원론》에서, 두 도형을 실제로 옮겨 포개어 완전히 겹치는지를 확인하는 방법으로 합동을 다루었어요. 이렇게 도형을 이동시켜 포개어 보는 방식은 이후로도 오랫동안 도형이 같은지를 확인하는 기본적인 방법으로 쓰였어요. 대칭이라는 성질은 그보다 훨씬 오래전부터 건축물이나 도자기, 옷감 무늬 등에서 균형 있고 아름다운 모양을 만들기 위해 널리 활용되었고, 나비나 꽃잎처럼 자연에서도 흔히 관찰되었어요. 이런 무늬들을 수학적으로 설명하기 위해 접었을 때 겹치는 기준을 "대칭축", 돌렸을 때 겹치는 기준을 "대칭의 중심"이라고 구분하여 부르는 용어가 자리 잡게 되었어요.