다각형의 내각과 외각

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정의

다각형에서 서로 이웃한 두 변이 이루는 안쪽 각을 내각(內角)이라 하고, 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각을 외각(外角)이라 한다.

$n$각형(엔각형이라 읽는다, 변이 $n$개인 다각형)에서 한 꼭짓점의 내각과 외각을 더하면 항상 $180°$가 된다. 왜냐하면 내각과 외각은 한 직선 위에서 만나는 두 각(평각을 이루는 두 각)이기 때문이다.

• 내각의 크기의 합: $180° \times (n-2)$
• 외각의 크기의 합: 언제나 $360°$ (다각형의 모양이나 변의 개수와 관계없이 항상 일정하다)

직관

다각형의 둘레를 따라 한 바퀴 걸어간다고 생각해 보자. 각 꼭짓점에서 다음 변으로 방향을 꺾을 때마다 몸이 돌아가는 각도가 바로 그 꼭짓점의 외각이다. 다각형을 한 바퀴 다 돌면 결국 처음 방향으로 되돌아오므로, 몸이 돈 각도를 모두 더하면 정확히 한 바퀴, 즉 $360°$가 된다. 변의 개수가 3개든 100개든 이 사실은 변하지 않는다.

내각의 합은 다각형을 삼각형 여러 개로 잘라서 이해할 수 있다. 한 꼭짓점에서 다른 모든 꼭짓점으로 대각선을 그으면 $n$각형은 삼각형 $(n-2)$개로 나누어지고, 삼각형 하나의 내각의 합은 $180°$이므로 전체 내각의 합은 $180° \times (n-2)$가 된다.

성질

• 정$n$각형(모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형)에서 한 내각의 크기는 $\dfrac{180° \times (n-2)}{n}$이다.
• 정$n$각형에서 한 외각의 크기는 $\dfrac{360°}{n}$이다.
• 삼각형은 $n=3$이므로 내각의 합이 $180° \times (3-2) = 180°$가 되어, 삼각형의 성질에서 배운 사실과 일치한다.

예시

사각형($n=4$)의 내각의 합을 구해 보자.

$$180° \times (4-2) = 180° \times 2 = 360°$$

정오각형($n=5$)의 한 내각과 한 외각의 크기를 각각 구해 보자.

$$\text{한 내각} = \dfrac{180° \times (5-2)}{5} = \dfrac{540°}{5} = 108°$$

$$\text{한 외각} = \dfrac{360°}{5} = 72°$$

확인: $108° + 72° = 180°$로, 내각과 외각의 합이 $180°$라는 성질과 맞아떨어진다.

🌍 실생활 예시

목공이나 건축에서 다각형 모양의 프레임(예: 정육각형 정자 지붕, 팔각형 창틀)을 짤 때 각 모서리를 몇 도로 잘라야 하는지 정할 때 이 성질을 쓴다. 정팔각형 창틀을 만든다면 이웃한 두 나무 조각이 만나는 각이 정팔각형의 한 내각인 $\dfrac{180°\times(8-2)}{8}=135°$가 되도록 톱질해야 틈 없이 딱 맞는 팔각형 틀이 만들어진다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 내각의 합을 구할 때 $(n-2)$를 빼는 것을 잊고 그냥 $180° \times n$으로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 다각형을 삼각형으로 나눌 때 삼각형의 개수는 꼭짓점의 개수 $n$이 아니라 항상 $(n-2)$개이다. 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 자기 자신과 양옆 두 꼭짓점을 뺀 $(n-3)$개이고, 이로 인해 삼각형은 $(n-2)$개로 나누어진다.
• 잘못된 생각: 외각의 합도 변의 개수가 많아지면 내각의 합처럼 커질 것이라고 생각한다. → 왜 틀렸는가: 외각의 합은 다각형의 모양·크기·변의 개수와 무관하게 항상 $360°$이다. 둘레를 한 바퀴 돌 때 방향이 정확히 한 바퀴(=$360°$)만큼 바뀌기 때문이며, 변이 많아질수록 오히려 한 외각의 크기(=$\frac{360°}{n}$)는 작아진다.
• 잘못된 생각: 정다각형이 아닌 (불규칙한) 다각형에도 $\dfrac{360°}{n}$을 그대로 적용해 외각의 크기를 구한다. → 왜 틀렸는가: $\dfrac{360°}{n}$은 모든 외각의 크기가 같은 정다각형에서만 성립하는 식이다. 불규칙한 다각형은 외각의 크기가 꼭짓점마다 다르므로 각 외각을 따로 구하거나 합이 $360°$라는 사실만 이용해야 한다.

확인 문제

1. 정십각형($n=10$)의 한 내각과 한 외각의 크기를 각각 구하시오.
2. 어떤 정다각형의 한 외각의 크기가 $40°$일 때, 이 정다각형은 변이 몇 개인지 구하시오.
3. 삼각형 하나의 내각의 합이 $180°$라는 사실만 알고 있다고 하자. 오각형을 대각선으로 나누면 삼각형 몇 개로 나누어지는지 직접 그림을 그려 확인하고, 이를 이용해 오각형의 내각의 합 공식이 왜 $180°\times(5-2)$가 되는지 설명하시오.

관련 개념

• 다각형
• 각과 각도
• 삼각형의 성질
• 정다각형과 이어지는 원주각
• 사각형의 성질