사각형 $ABCD$는 네 점 $A, B, C, D$를 순서대로 이은 변 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}$(선분 AB, 선분 BC, 선분 CD, 선분 DA라고 읽는다)로 둘러싸인 도형이다. 사각형의 성질이란 변의 길이, 각의 크기, 대각선(마주 보는 꼭짓점을 잇는 선분)의 관계에 따라 사각형을 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴 등으로 분류하고, 각 도형이 갖는 고유한 규칙을 말한다.
직관
사각형은 삼각형 두 개를 대각선으로 이어 붙인 도형이라고 생각하면 쉽다. 대각선 $\overline{AC}$를 그으면 사각형 $ABCD$는 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$($\triangle ABC \equiv \triangle CDA$는 "삼각형 ABC와 삼각형 CDA는 합동이다"라고 읽는다)로 나뉘고, 사각형의 성질 대부분은 이렇게 만들어진 두 삼각형의 합동을 증명하는 데서 나온다. 즉 사각형의 성질은 새로운 규칙이 아니라 삼각형의 합동 조건을 사각형에 적용한 결과다.
성질
평행사변형 (두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형, $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$)
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다: $\overline{AB} = \overline{DC}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$
두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
직사각형 (네 각이 모두 직각인 사각형): 평행사변형의 성질을 모두 가지며, 추가로 두 대각선의 길이가 서로 같다.
마름모 (네 변의 길이가 모두 같은 사각형): 평행사변형의 성질을 모두 가지며, 추가로 두 대각선이 서로 수직으로 이등분한다($\overline{AC} \perp \overline{BD}$, $\perp$는 "수직"이라 읽는다).
정사각형: 직사각형이면서 동시에 마름모인 사각형. 따라서 네 각이 직각이고 네 변의 길이가 같으며, 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직으로 이등분한다.
등변사다리꼴 (한 쌍의 대변만 평행하고 다른 한 쌍의 변의 길이가 같은 사각형): 밑각의 크기가 서로 같고, 두 대각선의 길이가 같다.
예시
평행사변형 $ABCD$에서 $\angle A = 70°$이면, $\angle C = \angle A = 70°$이고, 한 직선 위의 이웃한 각의 합은 $180°$이므로 $\angle B = \angle D = 180° - 70° = 110°$이다.
가로 $6$, 세로 $8$인 직사각형의 대각선은 두 변을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$이다.
🌍 실생활 예시
자동차의 시저 잭(가위 모양으로 접었다 펴는 잭)은 네 개의 막대가 마름모 모양 관절로 연결되어 있다. 손잡이를 돌려 마름모의 좁은 대각선을 늘리면, 네 변의 길이는 그대로인 채 반대쪽 대각선(높이)이 줄어들면서 잭이 낮아지거나 높아진다. 이는 "마름모는 네 변의 길이가 항상 같다"는 성질을 이용해 힘의 방향을 바꾸는 장치다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: "마름모는 네 변의 길이가 같으니까 정사각형이다." → 마름모는 변의 길이 조건만 만족하면 되고 각의 크기는 자유롭다. 네 각이 모두 직각일 때만 정사각형이 된다.
잘못된 생각: "직사각형도 대각선이 수직으로 만난다." → 대각선이 수직으로 만나는 성질은 마름모(와 정사각형)의 성질이다. 일반 직사각형에서는 대각선의 길이만 같을 뿐, 수직으로 만나지는 않는다.
잘못된 생각: "모든 사각형의 두 대각선은 서로를 이등분한다." → 이 성질은 평행사변형(과 그 특수한 경우인 직사각형, 마름모, 정사각형)에서만 성립한다. 일반 사다리꼴이나 임의의 사각형에서는 성립하지 않는다.
확인 문제
평행사변형 $ABCD$에서 대각선 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$가 점 $O$에서 만난다. $\triangle ABO$와 $\triangle CDO$가 합동임을 이용하여 "두 대각선이 서로를 이등분한다"는 성질이 왜 성립하는지 설명하시오. (힌트: $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이므로 엇각이 같다.)
마름모 $ABCD$의 한 변의 길이가 $5$이고 한 대각선의 길이가 $6$일 때, 다른 대각선의 길이를 구하시오.
직사각형 $ABCD$에서 $\angle A = 90°$임이 주어졌을 때, 나머지 세 각의 크기를 구하시오.
정답 보기
$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이므로 엇각에 의해 $\angle ABO = \angle CDO$, $\angle BAO = \angle DCO$이고 $\overline{AB} = \overline{DC}$이므로 $\triangle ABO \equiv \triangle CDO$(ASA 합동)이다. 따라서 $\overline{AO} = \overline{CO}$, $\overline{BO} = \overline{DO}$가 되어 두 대각선이 서로를 이등분한다.
마름모의 대각선은 서로 수직으로 이등분하므로 반쪽 길이는 각각 $3$과 $x/2$이고, $3^2 + (x/2)^2 = 5^2$에서 $(x/2)^2 = 16$, $x/2 = 4$, 따라서 다른 대각선의 길이는 $8$이다.
직사각형은 네 각이 모두 직각이므로 $\angle B = \angle C = \angle D = 90°$이다.