문제
원가가 8000원인 물건에 25%의 이익을 붙여 정가를 정했다. 그런데 잘 팔리지 않아 정가의 20%를 할인해서 팔았다. 이 물건을 팔아 얻은 이익은 얼마인가?
🔑 핵심 아이디어
%는 무엇에 대한 %인지가 전부다. 이익률은 원가에 대한 비율, 할인율은 정가에 대한 비율이라 기준이 서로 다르다. 그래서 더하고 빼는 대신 곱한다.
$$(\text{정가}) = (\text{원가}) \times (1 + 0.25), \qquad (\text{판매가}) = (\text{정가}) \times (1 - 0.2)$$
풀이
1단계 — 정가.
$$8000 \times 1.25 = 10000 \text{ (원)}$$
2단계 — 판매가.
$$10000 \times 0.8 = 8000 \text{ (원)}$$
3단계 — 이익.
$$8000 - 8000 = 0 \text{ (원)}$$
이익은 0원이다. 25%를 붙였다가 20%를 깎으니 정확히 제자리로 돌아왔다.
왜 그렇게 되나
두 단계를 한 줄로 이으면 이유가 보인다.
$$8000 \times 1.25 \times 0.8 = 8000 \times 1 = 8000$$
$1.25 \times 0.8 = 1$이기 때문이다. $1.25 = \frac{5}{4}$이고 $0.8 = \frac{4}{5}$이니 둘은 서로 역수다. 25% 인상은 20% 인하로 정확히 되돌려진다.
여기서 %의 비대칭이 드러난다. 올릴 때는 작은 수(8000)의 25%지만, 내릴 때는 커진 수(10000)의 20%다. 같은 금액 2000원이 한쪽에서는 25%, 다른 쪽에서는 20%로 불린다. 기준이 달라졌기 때문에 %도 달라진다.
| 조작 | 곱하는 수 | 되돌리려면 |
|---|---|---|
| 25% 인상 | $1.25$ | 20% 인하 |
| 20% 인상 | $1.2$ | $16\frac{2}{3}\%$ 인하 |
| 50% 인상 | $1.5$ | $33\frac{1}{3}\%$ 인하 |
| 10% 인상 후 10% 인하 | $1.1 \times 0.9 = 0.99$ | 1% 손해 |
마지막 줄이 특히 중요하다. 같은 %로 올렸다 내리면 원래대로 돌아오지 않고 언제나 조금 손해다.
⚠️ 흔한 실수
%끼리 더하고 빼기. $25 - 20 = 5$이므로 5% 이익이라고 답하기 쉽지만, 기준이 다르므로 그렇게 되지 않는다. 실제 답은 0%다.
할인율의 기준을 원가로 잡기. 할인은 정가에서 한다. $8000 \times 0.2 = 1600$을 빼면 답이 어긋난다.
이익과 이익률을 혼동하기. 이익은 금액(원), 이익률은 비율(%)이다. "이익률 25%"는 이익이 $8000 \times 0.25 = 2000$원이라는 뜻이다.
연속 할인을 합으로 계산하기. "30% 할인 후 추가 10% 할인"은 40% 할인이 아니라 $0.7 \times 0.9 = 0.63$, 즉 37% 할인이다.
변형 문제
(1) 할인율 역산. 원가 8000원에 25% 이익을 붙인 정가에서, 원가만은 건지려면 몇 %까지 깎을 수 있는가? 판매가가 8000원 이상이어야 하므로 할인율을 $x$라 하면
$$10000(1 - x) \ge 8000 \quad \Rightarrow \quad 1 - x \ge 0.8 \quad \Rightarrow \quad x \le 0.2$$
최대 20%까지다.
(2) 정가 역산. 20% 할인해서 팔아도 원가의 20% 이익을 남기려면 정가를 얼마로 정해야 하는가? 정가를 $y$라 하면
$$0.8y = 8000 \times 1.2 = 9600 \quad \Rightarrow \quad y = 12000 \text{ (원)}$$
원가의 50%를 붙여야 한다. 할인을 예상한 가격 책정이 이렇게 나온다.
(3) 부가세와 봉사료. 10% 봉사료를 붙인 뒤 10% 부가세를 붙이면 $1.1 \times 1.1 = 1.21$로 21%가 붙는다. 20%가 아니다.