문제
8%의 소금물 200 g이 있다. 여기에 물 50 g을 더 넣으면 소금물의 농도는 몇 %가 되는가?
🔑 핵심 아이디어
농도를 직접 따라가지 말고 소금의 양을 따라간다.
$$(\text{소금의 양}) = (\text{농도}) \times (\text{소금물 전체의 양})$$
물을 넣거나 증발시켜도 소금의 양은 변하지 않는다. 변하는 것은 전체의 양뿐이다.
풀이
1단계 — 소금의 양을 구한다.
$$0.08 \times 200 = 16 \text{ (g)}$$
2단계 — 변한 뒤의 전체 양을 구한다. 물 50 g을 넣었으므로
$$200 + 50 = 250 \text{ (g)}$$
3단계 — 다시 비율로 돌아간다.
$$\frac{16}{250} = 0.064 = 6.4\%$$
답은 6.4%다. 소금 16 g은 처음부터 끝까지 그대로였고, 분모만 200에서 250으로 커졌다.
왜 그렇게 되나
농도는 그 자체로 존재하는 양이 아니라 두 양의 비다. 분자(소금)와 분모(소금물 전체) 중 무엇이 변했는지 따로 보지 않으면 손댈 곳이 없다.
| 조작 | 소금의 양 | 전체의 양 | 농도 |
|---|---|---|---|
| 물을 넣는다 | 그대로 | 늘어난다 | 낮아진다 |
| 물을 증발시킨다 | 그대로 | 줄어든다 | 높아진다 |
| 소금을 넣는다 | 늘어난다 | 같이 늘어난다 | 높아진다 |
| 소금물을 덜어낸다 | 같은 비율로 준다 | 준다 | 그대로 |
마지막 줄이 특히 중요하다. 소금물을 덜어내면 소금과 물이 같은 비율로 빠져나가므로 농도는 변하지 않는다. "변하지 않는 양이 무엇인가"를 매번 먼저 묻는 습관이 이 유형 전체를 관통한다.
⚠️ 흔한 실수
농도끼리 더하거나 평균 내기. 8% 소금물 200 g과 12% 소금물 300 g을 섞으면 농도는 $(8+12) \div 2 = 10\%$가 아니다. 양이 다르기 때문이다. 소금의 양으로 가야 한다.
$$\frac{0.08 \times 200 + 0.12 \times 300}{200 + 300} = \frac{16 + 36}{500} = \frac{52}{500} = 10.4\%$$
양이 많은 쪽(12%, 300 g)으로 답이 끌려간 것을 확인할 수 있다.
분모에 넣은 물을 빠뜨리기. 물 50 g을 넣고도 분모를 200으로 두면 8%가 그대로 나온다. 넣은 물은 소금물 전체의 일부가 된다.
%와 소수를 섞어 쓰기. $8\% = \dfrac{8}{100} = 0.08$이다. 식 안에서는 한 가지 표기로 통일한다.
변형 문제
(1) 물을 몇 g 넣어야 5%가 되는가? 소금 16 g은 그대로이므로, 전체를 $x$라 하면
$$\frac{16}{x} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad x = 320$$
전체가 320 g이어야 하므로 넣을 물은 $320 - 200 = 120$ g이다.
(2) 물을 몇 g 증발시켜야 10%가 되는가? 같은 방식으로 $\dfrac{16}{x} = 0.1$에서 $x = 160$, 즉 $200 - 160 = 40$ g을 증발시킨다.
(3) 8% 소금물과 12% 소금물을 섞어 9%를 만들려면 비를 얼마로 해야 하는가? 8% 소금물 $x$ g, 12% 소금물 $y$ g을 섞는다고 두면
$$0.08x + 0.12y = 0.09(x + y) \quad \Rightarrow \quad 0.03y = 0.01x \quad \Rightarrow \quad x : y = 3 : 1$$
9%는 8% 쪽에 가까우므로 8% 소금물이 더 많이 들어간다. 답의 방향이 상식과 맞는지 이렇게 확인할 수 있다.