문제
학과 거북이 합해서 10마리 있다. 다리를 모두 세었더니 32개였다. 학과 거북은 각각 몇 마리인가?
(학은 다리가 2개, 거북은 4개다. 닭과 토끼로 바꿔도 같은 문제라 "학·거북셈" 또는 "귀일법"이라 부른다.)
🔑 핵심 아이디어
모르는 것이 둘(학의 수, 거북의 수)이면, 조건도 둘을 찾아야 한다. 여기서는 머리 수와 다리 수다.
$$\begin{cases} x + y = 10 & (\text{머리}) \\ 2x + 4y = 32 & (\text{다리}) \end{cases}$$
풀이
방법 1 — 연립방정식. 학을 $x$마리, 거북을 $y$마리라 하자. 위 식에서 $x = 10 - y$를 두 번째 식에 넣으면
$$2(10 - y) + 4y = 32 \quad \Rightarrow \quad 20 + 2y = 32 \quad \Rightarrow \quad y = 6$$
따라서 거북 6마리, 학 4마리다.
방법 2 — 전부 학이라고 가정하기(초등 풀이).
- 10마리가 모두 학이라면 다리는 $2 \times 10 = 20$개여야 한다.
- 실제는 32개이므로 $32 - 20 = 12$개가 모자란다.
- 학 한 마리를 거북으로 바꿀 때마다 다리는 $4 - 2 = 2$개씩 늘어난다.
- 따라서 바꿔야 할 마리 수는 $12 \div 2 = 6$마리.
거북 6마리, 학 4마리. 검산하면 머리 $4 + 6 = 10$, 다리 $2 \times 4 + 4 \times 6 = 8 + 24 = 32$로 맞다.
왜 그렇게 되나
두 풀이는 같은 계산을 다른 언어로 한 것이다. 방법 2의 "모두 학이라 가정"은 연립방정식에서 $x = 10 - y$를 대입해 미지수를 하나로 줄이는 것과 정확히 대응한다.
$$2(10 - y) + 4y = 20 + \underbrace{(4-2)}_{\text{바꿀 때 늘어나는 다리}} y$$
$20$이 "전부 학일 때의 다리 수", $(4-2)$가 "한 마리 바꿀 때의 증가량"이다. 식을 세우지 않고도 풀리는 이유가 여기 있다.
이 유형에서 변하지 않는 양은 머리 수 10이다. 총 마리 수를 고정해 둔 채 구성만 바꾸므로, 바뀌는 것은 다리 수 하나뿐이고 그래서 나눗셈 한 번으로 답이 나온다.
⚠️ 흔한 실수
어느 쪽으로 가정했는지 잊기. "모두 학이라 가정"했으면 나온 답 6은 거북의 수다. 가정한 쪽이 아니라 바꾼 쪽이 답이라는 점을 늘 확인한다.
답이 정수가 아닌데 그냥 두기. 마리 수는 자연수여야 한다. 답이 소수로 나오면 문제 조건을 잘못 옮긴 것이다.
두 번째 조건을 찾지 못하기. "합해서 10마리"만 보고 손을 놓는 경우가 많다. 문제에 등장하는 모든 수가 조건 하나씩이라고 생각하면 빠뜨리지 않는다.
변형 문제
(1) 동전 문제. 100원과 500원짜리가 합해서 12개, 금액이 3600원이다. 전부 100원이라면 1200원이므로 $3600 - 1200 = 2400$원이 모자라고, 한 개 바꿀 때마다 400원씩 늘어나므로 $2400 \div 400 = 6$개가 500원짜리다.
(2) 감점이 있는 시험. 20문제에서 맞히면 5점, 틀리면 $-2$점이고 총점이 65점이다. 전부 맞혔다면 100점이고, 한 문제 틀릴 때마다 $5 + 2 = 7$점씩 깎이므로 틀린 문제는 $(100 - 65) \div 7 = 5$개다. 틀릴 때의 손해가 7점이라는 점이 함정이다.
(3) 세 종류로 늘리기. 학·거북·지네가 섞이면 미지수가 셋이라 조건도 셋이 필요하다. 조건이 둘뿐이면 답이 하나로 정해지지 않는다.