문제
지금 아버지는 40세, 아들은 10세다. 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 후인가?
🔑 핵심 아이디어
두 사람의 나이는 해마다 똑같이 1씩 늘어난다. 그래서 나이 차는 영원히 변하지 않는다.
$$(\text{나이 차}) = 40 - 10 = 30 \quad (\text{언제나})$$
변하지 않는 이 30을 기준으로 삼으면, "몇 년 후"를 몰라도 답이 먼저 나온다.
풀이
방법 1 — 변하지 않는 양으로 풀기. 아버지가 아들의 2배가 되는 때, 아들의 나이를 $x$라 하면 아버지는 $2x$다. 이때도 나이 차는 30이므로
$$2x - x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 30$$
아들이 30세일 때이므로 지금부터 $30 - 10 = 20$년 후다.
방법 2 — 몇 년 후를 미지수로 두기. $n$년 후라 하면
$$40 + n = 2(10 + n) \quad \Rightarrow \quad 40 + n = 20 + 2n \quad \Rightarrow \quad n = 20$$
같은 답이다. 검산하면 20년 후 아버지 60세, 아들 30세로 정확히 2배다.
왜 그렇게 되나
나이 문제에서 변하는 것과 변하지 않는 것을 갈라 보자.
| 지금 | $n$년 후 | 변하는가 | |
|---|---|---|---|
| 아버지 | 40 | $40 + n$ | 변한다 |
| 아들 | 10 | $10 + n$ | 변한다 |
| 나이 차 | 30 | 30 | 변하지 않는다 |
| 나이 비 | $4 : 1$ | $(40+n) : (10+n)$ | 변한다 |
차는 고정, 비는 변한다. 그래서 "몇 배가 되는가"라는 물음은 곧 "고정된 차 30을 몇 등분으로 보는가"라는 물음이 된다. 2배가 되는 순간이란 차 30이 아들 나이 1몫과 같아지는 순간이고, 3배가 되는 순간이란 차 30이 2몫이 되는 순간이다.
이 관점으로 보면 배수가 시간이 갈수록 줄어든다는 것도 자연스럽다. 지금은 4배, 5년 후 3배, 20년 후 2배이고, 결코 1배(같은 나이)가 되지는 않는다. 차 30이 사라질 수 없기 때문이다.
⚠️ 흔한 실수
한 사람만 나이를 먹이기. $40 + n = 2 \times 10$처럼 아들을 지금 나이로 두면 안 된다. 두 사람 모두에게 같은 $n$을 더한다.
구한 값이 무엇인지 혼동하기. 방법 1에서 나온 30은 아들의 나이이지 "몇 년 후"가 아니다. 마지막에 $30 - 10 = 20$을 빼는 단계를 빠뜨리기 쉽다.
과거를 물었는데 부호를 그대로 두기. "몇 년 전"이면 $-n$을 쓰거나 $n$년 전으로 두고 빼야 한다.
변형 문제
(1) 3배가 되는 때. 아들 $x$, 아버지 $3x$, 차가 $2x = 30$이므로 $x = 15$. 지금부터 5년 후다.
(2) 몇 년 전에 5배였나? $4x = 30$에서 $x = 7.5$로 정수가 아니다. 즉 5배였던 해는 없다. 답이 없다는 것도 답이며, 나이 차 30이 4로 나누어떨어지지 않는다는 사실이 이유다.
(3) 나이 합이 주어진 경우. "두 사람의 나이 합이 50이고 차가 30"이면 합과 차로 각각을 구한다. 큰 쪽은 $(50 + 30) \div 2 = 40$, 작은 쪽은 $(50 - 30) \div 2 = 10$이다.
(4) 형제가 셋이면 미지수가 늘어 학·거북셈처럼 조건 개수를 맞춰야 한다.