이 개념은 선분을 둘로 나눈 두 부분의 비가 전체와 긴 부분의 비와 같아지는 비이며, 그 값은 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$이다.
길이가 있는 선분 하나를 두 부분으로 나눈다고 하자. 긴 부분을 $a$, 짧은 부분을 $b$라 하면 전체 길이는 $a+b$이다. 이때
$$(a+b):a = a:b$$
가 성립하도록 나누는 비를 황금비라 한다("$a:b$"는 "$a$ 대 $b$"라고 읽으며, 전체와 긴 부분의 비가 긴 부분과 짧은 부분의 비와 같다는 뜻이다). 이 비의 값, 즉 $\dfrac{a}{b}$의 값은 선분의 실제 길이와 상관없이 항상
$$\frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\cdots$$
이다($\sqrt5$는 "제곱근 5" 또는 "루트 5"라고 읽는다). 이 값은 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다.
"가장 안정적이고 아름답게 느껴지는 비율"이라는 말을 들어 본 적이 있을 것이다. 황금비는 직사각형 하나를 정사각형과 더 작은 직사각형으로 잘라 냈을 때, 남은 작은 직사각형이 원래 직사각형과 똑같은 가로세로 비율을 유지하게 만드는 특별한 비율이다. 즉 "전체 안에 작은 자기 자신이 또 들어 있는" 구조여서, 아무리 잘라 내도 비율이 변하지 않는다. 이 자기 반복적인 성질 때문에 예술·건축에서 균형 잡힌 비율로 자주 언급된다.
전체 길이를 $a+b$, 긴 부분을 $a$, 짧은 부분을 $b$ $(a>b>0)$라 하고, 정의에서 온 비례식 $(a+b):a = a:b$에서 출발하자.
$$(a+b)\cdot b = a\cdot a \;\;\Rightarrow\;\; ab+b^2=a^2$$
양변을 $b^2$으로 나누면 ($b\neq0$이므로 가능하다)
$$\frac{a}{b}+1=\left(\frac{a}{b}\right)^2$$
여기서 구하고 싶은 값은 결국 $t=\dfrac{a}{b}$이므로, 위 식을 $t$에 대해 정리하면
$$t^2-t-1=0$$
이차방정식이 나왔다. 근의 공식을 적용하면
$$t=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$
두 해가 나오지만 $t=\dfrac{a}{b}$는 길이의 비이므로 반드시 양수여야 한다. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$는 음수이므로 버리고, 남는 해가 바로 황금비다.
$$t=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618$$
전체 길이가 10cm인 선분을 황금비로 나눈다고 하자. $a=\dfrac{10}{\varphi}$이므로
$$a=\frac{10}{1.618\cdots}\approx 6.18\text{(cm)},\qquad b=10-a\approx 3.82\text{(cm)}$$
확인해 보면 $6.18\div 3.82\approx 1.618$로 실제 황금비 값과 일치한다.
아래는 유도에서 나온 이차방정식 $t^2-t-1=0$의 그래프다. 그래프가 $x$축과 만나는 양의 $x$ 값이 바로 황금비다.
신용카드나 교통카드처럼 흔히 쓰이는 카드의 가로세로 비율은 대략 1.6:1로, 황금비(약 1.618:1)에 가깝게 설계되어 있다고 알려져 있다. 이 비율로 만든 직사각형이 너무 길지도 너무 정사각형에 가깝지도 않아 손에 쥐거나 눈으로 보기에 안정적으로 느껴지기 때문이라는 설명이 많다.
황금비의 기하학적 정의는 고대 그리스 수학자 에우클레이데스(유클리드)의 저서 「원론」에서 정오각형이나 오각별을 작도하는 데 필요한 비율로 처음 다루어졌으며, 당시에는 "외중비"라는 이름으로 불렸다. 이후 르네상스 시기 이탈리아의 수학자 루카 파치올리가 이 비율을 다룬 책을 펴내면서 예술과 건축에서 특별히 균형 잡힌 비율로 여겨지기 시작했다. "황금비"라는 이름 자체는 훨씬 후대인 19세기에 유럽에서 붙여진 것으로 알려져 있다.