# 황금비

분야: 기하
학교급: 중등
교육과정: 선분을 둘로 나눈 두 부분의 비가 전체와 긴 부분의 비와 같아지는 비. 값은 (1+√5)/2이다.
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%99%A9%EA%B8%88%EB%B9%84

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<!-- prereq: 이차방정식, 도형의 닮음 -->

> 이 개념은 선분을 둘로 나눈 두 부분의 비가 전체와 긴 부분의 비와 같아지는 비이며, 그 값은 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$이다.

## 정의

길이가 있는 선분 하나를 두 부분으로 나눈다고 하자. 긴 부분을 $a$, 짧은 부분을 $b$라 하면 전체 길이는 $a+b$이다. 이때

$$(a+b):a = a:b$$

가 성립하도록 나누는 비를 **황금비**라 한다("$a:b$"는 "$a$ 대 $b$"라고 읽으며, 전체와 긴 부분의 비가 긴 부분과 짧은 부분의 비와 같다는 뜻이다). 이 비의 값, 즉 $\dfrac{a}{b}$의 값은 선분의 실제 길이와 상관없이 항상

$$\frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\cdots$$

이다($\sqrt5$는 "제곱근 5" 또는 "루트 5"라고 읽는다). 이 값은 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이다.

## 직관

"가장 안정적이고 아름답게 느껴지는 비율"이라는 말을 들어 본 적이 있을 것이다. 황금비는 직사각형 하나를 정사각형과 더 작은 직사각형으로 잘라 냈을 때, 남은 작은 직사각형이 원래 직사각형과 **똑같은 가로세로 비율**을 유지하게 만드는 특별한 비율이다. 즉 "전체 안에 작은 자기 자신이 또 들어 있는" 구조여서, 아무리 잘라 내도 비율이 변하지 않는다. 이 자기 반복적인 성질 때문에 예술·건축에서 균형 잡힌 비율로 자주 언급된다.

## 유도

전체 길이를 $a+b$, 긴 부분을 $a$, 짧은 부분을 $b$ $(a>b>0)$라 하고, 정의에서 온 비례식 $(a+b):a = a:b$에서 출발하자.

비례식의 성질(외항의 곱 = 내항의 곱)을 쓰면

$$(a+b)\cdot b = a\cdot a \;\;\Rightarrow\;\; ab+b^2=a^2$$

양변을 $b^2$으로 나누면 ($b\neq0$이므로 가능하다)

$$\frac{a}{b}+1=\left(\frac{a}{b}\right)^2$$

여기서 구하고 싶은 값은 결국 $t=\dfrac{a}{b}$이므로, 위 식을 $t$에 대해 정리하면

$$t^2-t-1=0$$

이차방정식이 나왔다. 근의 공식을 적용하면

$$t=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

두 해가 나오지만 $t=\dfrac{a}{b}$는 길이의 비이므로 반드시 양수여야 한다. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$는 음수이므로 버리고, 남는 해가 바로 황금비다.

$$t=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618$$

## 성질

- $\varphi^2=\varphi+1$ (그리스 문자 $\varphi$는 "파이"라고 읽는다. 원주율을 나타내는 $\pi$와는 다른 문자이니 혼동하지 않도록 주의한다.) — 유도 과정에서 얻은 식 $t^2=t+1$을 그대로 정의로 쓴 것이다.
- $\dfrac{1}{\varphi}=\varphi-1$ — 위 식의 양변을 $\varphi$로 나누면 얻어진다.

## 예시

전체 길이가 10cm인 선분을 황금비로 나눈다고 하자. $a=\dfrac{10}{\varphi}$이므로

$$a=\frac{10}{1.618\cdots}\approx 6.18\text{(cm)},\qquad b=10-a\approx 3.82\text{(cm)}$$

확인해 보면 $6.18\div 3.82\approx 1.618$로 실제 황금비 값과 일치한다.

아래는 유도에서 나온 이차방정식 $t^2-t-1=0$의 그래프다. 그래프가 $x$축과 만나는 양의 $x$ 값이 바로 황금비다.


그래프: y=x^2-x-1 (정의역 -2~3)


## 🌍 실생활 예시

신용카드나 교통카드처럼 흔히 쓰이는 카드의 가로세로 비율은 대략 1.6:1로, 황금비(약 1.618:1)에 가깝게 설계되어 있다고 알려져 있다. 이 비율로 만든 직사각형이 너무 길지도 너무 정사각형에 가깝지도 않아 손에 쥐거나 눈으로 보기에 안정적으로 느껴지기 때문이라는 설명이 많다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **"황금비는 정확히 1.618이다"라고 생각하는 실수**: 황금비의 값 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$는 무리수이므로 소수로 정확히 끝나게 쓸 수 없다. 1.618은 반올림한 근삿값일 뿐이다.
- **비의 순서를 거꾸로 쓰는 실수**: 정의는 "(전체):(긴 부분) = (긴 부분):(짧은 부분)"인데, 이를 "(긴 부분):(전체) = (짧은 부분):(긴 부분)"처럼 항의 순서를 뒤바꿔 쓰면 전혀 다른 비례식이 되어 값이 달라진다.
- **이차방정식의 두 해를 모두 답으로 남기는 실수**: $t^2-t-1=0$의 해는 두 개지만, $t$는 길이의 비이므로 음수인 $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$는 답이 될 수 없다. 문제 상황(길이는 항상 양수)에 맞지 않는 해를 버리는 과정을 빠뜨리면 안 된다.

## 확인 문제

1. 길이 20cm인 선분을 황금비로 나눌 때, 긴 부분의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하시오.
2. 이차방정식 $t^2-t-1=0$을 근의 공식으로 풀면 두 해가 나온다. 이 중 왜 하나만 황금비 값으로 인정하는지, 그 이유를 설명하시오.
3. $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$일 때 $\varphi^2$의 값을 직접 계산하여 $\varphi^2=\varphi+1$이 성립함을 확인하시오.

정답 보기:

1. $a=\dfrac{20}{\varphi}\approx 12.36$(cm). ($20-12.36\approx7.64$가 짧은 부분이고, $12.36\div7.64\approx1.618$로 확인된다.)
2. 두 해는 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$과 $\dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx-0.618$이다. $t$는 두 선분의 길이의 비이므로 반드시 양수여야 하는데, 두 번째 해는 음수이므로 문제의 조건에 맞지 않아 버린다.
3. $\varphi^2=\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt5+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$이고, $\varphi+1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}+1=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$이므로 두 값이 같다.



## 📜 역사

황금비의 기하학적 정의는 고대 그리스 수학자 에우클레이데스(유클리드)의 저서 「원론」에서 정오각형이나 오각별을 작도하는 데 필요한 비율로 처음 다루어졌으며, 당시에는 "외중비"라는 이름으로 불렸다. 이후 르네상스 시기 이탈리아의 수학자 루카 파치올리가 이 비율을 다룬 책을 펴내면서 예술과 건축에서 특별히 균형 잡힌 비율로 여겨지기 시작했다. "황금비"라는 이름 자체는 훨씬 후대인 19세기에 유럽에서 붙여진 것으로 알려져 있다.

## 관련 개념

- 이차방정식 — 황금비의 값을 구하는 과정에서 $t^2-t-1=0$을 풀 때 사용한다.
- 도형의 닮음 — "비가 같다"는 비례식의 성질은 닮음에서 쓰는 비례 관계와 같은 원리다.
- 다각형 — 정오각형의 대각선과 변의 비율에서 황금비가 자연스럽게 나타난다.

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관련 개념:
- 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 도형의 닮음 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EB%8B%AE%EC%9D%8C)
- 다각형 (/wiki/math/%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95)