# 연립일차방정식 분야: 대수 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D --- ## 정의 미지수가 여러 개인 일차방정식을 두 개 이상 묶어 놓고 **동시에** 만족하는 해를 찾는 문제를 **연립일차방정식**이라 한다. $$\begin{cases} ax + by = p \\ cx + dy = q \end{cases}$$ ## 직관 방정식 하나는 조건 하나다. 미지수가 2개면 조건 하나로는 답이 정해지지 않고(자유도가 남는다), 조건 2개가 모이면 보통 답이 하나로 조여진다. 기하로 보면 각 방정식은 직선이고, 연립방정식의 해는 **두 직선의 교점**이다. 그래서 해의 개수는 세 경우뿐이다: | 두 직선의 관계 | 해 | |---|---| | 한 점에서 만남 | 한 쌍 (유일) | | 평행 | 없음 (불능) | | 일치 | 무수히 많음 (부정) | ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 연립방정식에서 학생들이 실제로 궁금해하는 건 **"왜 미지수가 2개면 식도 2개가 필요한가"**다. 감을 잡으려면 식 하나를 "정보 하나"로 생각하면 된다. "두 수의 합이 $10$"이라는 정보 하나만으로는 두 수가 $(1,9)$인지 $(4,6)$인지 정할 수 없다. 여기에 "두 수의 차가 $2$"라는 정보가 하나 더 붙어야 비로소 답이 하나로 좁혀진다. 미지수 $2$개의 자유를 묶으려면 서로 다른 정보(식)가 $2$개 필요한 것이다. 가감법으로 두 식을 더하거나 빼는 절차도 처음엔 "이래도 되나?" 싶다. 등식은 양팔저울이 균형을 이룬 상태와 같아서, 균형 잡힌 두 저울의 양쪽을 각각 합쳐도 새 저울은 여전히 균형이다. 그래서 두 식을 더한 식도 원래 해를 그대로 만족한다. 이때 계수를 맞춰 한 미지수가 사라지도록 더하거나 빼면, 남는 건 미지수 하나짜리 쉬운 식이 된다. 해가 없거나 무수히 많은 경우도 이 "정보" 관점으로 이해할 수 있다. 두 식이 사실상 같은 말을 반복하면(정보가 중복) 조건이 하나뿐인 셈이라 답이 무수히 많고(부정), 두 식이 서로 모순되면(예: 같은 두 수의 합이 $5$이면서 동시에 $6$) 만족하는 답이 아예 없다(불능). 두 식의 계수만 비례하는지, 상수항까지 맞는지를 살피면 이 경우들을 미리 알아챌 수 있다. ## 풀이법 - **가감법**: 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거한다 - **대입법**: 한 식을 한 미지수에 대해 정리해 다른 식에 대입한다 - **행렬 이용** (옛 교육과정): 계수를 행렬로 묶어 $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$로 쓰고, 역행렬이 존재하면 해는 $A^{-1}\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$. $ad - bc = 0$이 불능/부정 경우에 대응한다. ## 예시 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$ — 첫 식에 $3$을 곱해 빼면 $2y = 4$, 곧 $y = 2$, $x = 1$. 두 직선 $x + 2y = 5$와 $3x + 4y = 11$이 점 $(1, 2)$에서 만난다는 뜻이다. ## 관련 개념 - 바탕 개념: 방정식, 직선의 방정식, 평면좌표 - 행렬 풀이: 행렬, 역행렬 - 미지수·식이 많아질 때의 일반 이론이 대학의 선형대수학이다 --- 관련 개념: - 방정식 (/wiki/math/%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 직선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A7%81%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 행렬 (/wiki/math/%ED%96%89%EB%A0%AC) - 역행렬 (/wiki/math/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC) - 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C)