# 약수와 배수 분야: 대수 학교급: 초등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EB%B0%B0%EC%88%98 --- ## 정의 어떤 수를 나누어서 나머지가 0이 되게 하는 수를 **약수**라고 합니다. 예를 들어 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누어떨어지므로 이 여섯 개의 수가 모두 12의 약수입니다. **배수**는 어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 한 수입니다. 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, …처럼 3을 여러 번 더해서 나오는 수들입니다. 약수와 배수는 서로 짝을 이루는 말입니다. $3 \times 4 = 12$ 이므로, 3과 4는 12의 약수이고, 12는 3의 배수이면서 4의 배수입니다. ## 직관 약수는 "이 수를 똑같이 나눌 수 있는 방법"을 찾는 것과 같습니다. 사탕 12개를 남김없이 똑같이 나누어 줄 수 있는 사람 수를 생각해 보면, 1명, 2명, 3명, 4명, 6명, 12명에게 나눠줄 때 딱 맞게 나눠집니다. 이 숫자들이 바로 12의 약수입니다. 배수는 반대로 "그 수를 계속 더해 나가면서 만나는 수"입니다. 3층씩 있는 계단을 오를 때 밟는 층수(3, 6, 9, 12, …)가 3의 배수인 것과 같습니다. ## 유도 앞에서 12의 약수를 1부터 12까지 하나씩 나누어 보며 찾았습니다. 그런데 수가 커지면 매번 끝까지 다 나눠 보는 것은 번거롭습니다. 더 빠르게, 빠짐없이 약수를 찾는 방법을 생각해 봅시다. 약수는 곱셈으로도 찾을 수 있습니다. 두 수를 곱해서 12가 되는 짝을 순서대로 찾아보면 다음과 같습니다. $$12 = 1 \times 12,\quad 12 = 2 \times 6,\quad 12 = 3 \times 4$$ 다음 차례는 $12 = 4 \times 3$인데, 이는 앞에서 나온 $3 \times 4$와 순서만 바뀐 것으로 같은 짝입니다. 즉 앞의 수가 뒤의 수보다 커지는 순간, 새로운 짝은 더 이상 나오지 않고 이미 모든 약수 짝을 다 찾은 것입니다. 이렇게 곱해서 그 수가 되는 두 수를 짝지어 찾으면, 1부터 끝까지 전부 나눠 보지 않고도 약수를 빠짐없이 찾을 수 있습니다. 이 방법으로 나온 수들을 모으면 1, 2, 3, 4, 6, 12로, 앞서 나눗셈으로 찾은 12의 약수와 정확히 일치합니다. ## 성질 - 1은 모든 수의 약수입니다. - 어떤 수는 항상 자기 자신의 약수이자 배수입니다. - 어떤 수의 약수는 그 수보다 크지 않고, 배수는 그 수보다 작지 않습니다(0을 빼고 생각할 때). - 약수는 개수가 정해져 있지만, 배수는 끝없이 이어집니다. ## 예시 **12의 약수 찾기**: 12를 나누어떨어지게 하는 수를 작은 수부터 차례로 찾아봅니다. $$12 \div 1 = 12,\quad 12 \div 2 = 6,\quad 12 \div 3 = 4,\quad 12 \div 4 = 3,\quad 12 \div 6 = 2,\quad 12 \div 12 = 1$$ 따라서 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. **5의 배수 찾기**: 5에 1배, 2배, 3배, …를 해봅니다. $$5 \times 1 = 5,\quad 5 \times 2 = 10,\quad 5 \times 3 = 15,\quad 5 \times 4 = 20,\ \dots$$ 따라서 5의 배수는 5, 10, 15, 20, 25, …로 끝없이 계속됩니다. ## 🌍 실생활 예시 학급에서 모둠을 나눌 때 약수를 사용합니다. 학생이 24명인 반에서 모둠원 수를 똑같이 맞추려면 24의 약수인 2명, 3명, 4명, 6명, 8명, 12명 단위로 모둠을 만들 수 있습니다. 예를 들어 4명씩 모둠을 만들면 $24 \div 4 = 6$이므로 정확히 6개 모둠이 만들어져 한 명도 남지 않습니다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: "약수는 작은 수부터 큰 수까지 아무 수나 될 수 있다." → 왜 틀렸는지: 약수는 반드시 나누어서 나머지가 0이 되는 수만 됩니다. 예를 들어 12를 5로 나누면 나머지가 2가 남으므로 5는 12의 약수가 아닙니다. - **잘못된 생각**: "배수를 찾을 때는 그 수보다 작은 수도 배수가 될 수 있다." → 왜 틀렸는지: 배수는 1배부터 시작하므로 항상 그 수와 같거나 그 수보다 큽니다. 3의 배수 중에는 1이나 2 같은 수가 없습니다. - **잘못된 생각**: "1은 배수가 아니니 약수도 아니다." → 왜 틀렸는지: 1은 모든 수를 나누어떨어지게 하므로 항상 약수가 됩니다. 다만 1은 그 수의 배수가 아닐 수도 있습니다(예: 1은 3의 배수가 아닙니다). ## 확인 문제 1. 18의 약수를 모두 찾아보세요. 2. 7의 배수를 작은 수부터 5개 써 보세요. 3. 어떤 수의 약수 중에서 가장 큰 수는 항상 그 수 자신입니다. 왜 그런지 12를 예로 들어 설명해 보세요. 그리고 어떤 수의 배수 중에서 가장 작은 수는 무엇인지도 함께 생각해 보세요. 정답 보기: 1. 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (각각 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수를 모두 찾으면 됩니다.) 2. 7의 배수: 7, 14, 21, 28, 35 ($7 \times 1, 7 \times 2, 7 \times 3, 7 \times 4, 7 \times 5$) 3. 12를 12로 나누면 $12 \div 12 = 1$로 나머지 없이 나누어지므로 12 자신도 약수입니다. 그리고 어떤 수보다 큰 수로는 나누어떨어질 수 없으므로 12보다 큰 약수는 없습니다. 즉 어떤 수의 가장 큰 약수는 항상 그 수 자신입니다. 반대로 배수는 1배부터 시작하므로 가장 작은 배수는 항상 그 수 자신입니다. ## 📜 역사 약수와 배수라는 개념은 이미 고대 그리스 수학에서 정리되어 있었습니다. 기원전 300년 무렵에 쓰인 유클리드의 저서 원론(Elements) 7권에는 한 수가 다른 수를 남김없이 나눌 때 이를 '잰다(measure)'고 부르며 다루었는데, 이는 오늘날의 약수 개념과 같습니다. 같은 책에는 두 수의 가장 큰 공통 약수를 찾는 방법도 실려 있으며, 이 방법(유클리드 호제법)은 지금까지도 최대공약수를 구하는 표준적인 방법으로 쓰이고 있습니다. '약수(divisor)'와 '배수(multiple)'라는 오늘날의 용어와 기호는 이후 여러 나라의 수학 교육 과정을 거치며 지금의 모습으로 정착되었습니다. ## 관련 개념 - 자연수 — 약수와 배수는 자연수 사이의 관계입니다. - 나눗셈 — 약수는 나누어떨어지는지를 확인하는 것에서 나옵니다. - 곱셈 — 배수는 곱셈으로 만들어지는 수입니다. - 소수와 합성수 — 약수의 개수에 따라 수를 나누는 개념입니다. - 최대공약수와 최소공배수 — 여러 수의 약수와 배수를 비교해서 찾는 개념입니다. --- 관련 개념: - 자연수 (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98) - 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88) - 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88) - 소수와 합성수 (/wiki/math/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%99%80_%ED%95%A9%EC%84%B1%EC%88%98) - 최대공약수와 최소공배수 (/wiki/math/%EC%B5%9C%EB%8C%80%EA%B3%B5%EC%95%BD%EC%88%98%EC%99%80_%EC%B5%9C%EC%86%8C%EA%B3%B5%EB%B0%B0%EC%88%98)