# 부피와 정적분 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B6%80%ED%94%BC%EC%99%80_%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84 --- ## 정의 입체도형을 좌표축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 **단면적 함수**라 하고, $x=a$부터 $x=b$까지의 단면적을 $S(x)$라 하자. 이때 이 입체도형의 부피 $V$는 다음 정적분(定積分, $\int$는 "인테그럴"이라 읽는다)으로 정의된다. $$V = \int_a^b S(x)\,dx$$ 특히 함수 $y=f(x)$의 그래프($a \le x \le b$)를 $x$축을 회전축으로 하여 한 바퀴 돌려 만든 **회전체**의 경우, $x$에서의 단면은 반지름이 $|f(x)|$인 원이므로 단면적은 $S(x) = \pi \{f(x)\}^2$이고, $$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$$ ## 직관 부피를 한 번에 구하기 어려운 이유는 입체의 굵기가 위치마다 다르기 때문이다. 이를 아주 얇은 조각(두께 $\Delta x$)으로 잘게 썰면, 조각 하나는 거의 원기둥(또는 각기둥)으로 볼 수 있어 부피가 (단면적)$\times$(두께)로 근사된다. 이 얇은 조각들의 부피를 모두 더한 뒤 조각을 한없이 얇게 만드는 극한을 취하면 리만 합이 정적분으로 바뀐다 — 이는 구분구적법의 아이디어를 3차원으로 확장한 것이다. ## 예시 **예시 1.** $y=\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 4$)를 $x$축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 $$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$ 그래프: y=sqrt(x) (정의역 0~4) **예시 2 (워셔법).** $0\le x\le 1$에서 $y=x$와 $y=x^2$ 사이의 영역을 $x$축 둘레로 회전시키면, 바깥 반지름은 $x$, 안쪽 반지름은 $x^2$이므로 단면은 도넛 모양(워셔)이 된다. $$V = \pi\int_0^1 \left(x^2 - (x^2)^2\right)dx = \pi\int_0^1 (x^2-x^4)\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2\pi}{15}$$ ## 🌍 실생활 예시 음료수 병이나 꽃병처럼 회전 대칭인 용기를 설계할 때, 옆면의 곡선(예: 병목이 좁아지다가 몸통이 볼록해지는 곡선)을 함수 $f(x)$로 표현하면 회전체 부피 공식 $\pi\int f(x)^2\,dx$로 실제 용량을 미리 계산할 수 있다. 제조업의 CAD 설계에서는 곡면의 단면적 함수를 적분해 부품의 부피(따라서 무게, 재료비)를 사전에 산출하는 데 이 원리가 그대로 쓰인다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각:** 회전체 부피를 $\displaystyle\pi\int_a^b f(x)\,dx$로 계산한다. → **왜 틀렸는가:** 단면인 원의 넓이는 $\pi r^2$이지 $\pi r$이 아니다. 반지름 $f(x)$를 반드시 **제곱**해야 하며, 이를 빠뜨리면 넓이와 정적분(넓이 공식)과 부피 공식을 혼동하게 된다. - **잘못된 생각:** 두 곡선 사이 영역을 회전시킬 때도 바깥 함수만 제곱해서 적분한다. → **왜 틀렸는가:** 안쪽에 빈 구멍(구멍 뚫린 도넛 모양의 단면)이 생기므로, 워셔법에서는 반드시 $\pi\int (\{바깥\}^2 - \{안쪽\}^2)\,dx$ 형태로 안쪽 반지름의 제곱을 **빼야** 한다. 큰 함수의 제곱만 적분하면 실제보다 부피가 크게 나온다. - **잘못된 생각:** $x$축이 아닌 직선 $y=k$를 회전축으로 할 때도 반지름을 그냥 $f(x)$로 쓴다. → **왜 틀렸는가:** 회전축이 $y=k$이면 단면원의 반지름은 곡선과 회전축 사이의 거리인 $|f(x)-k|$이다. 회전축의 위치를 바꾸면 반지름 표현도 함께 바뀌어야 한다. ## 확인 문제 1. 반지름이 $r$인 구는 원 $x^2+y^2=r^2$의 위쪽 반원 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ ($-r\le x\le r$)을 $x$축 둘레로 회전시킨 회전체로 볼 수 있다. 이를 이용해 정적분으로 구의 부피 공식을 직접 유도하고, 익숙한 공식 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$과 일치하는지 확인하시오. 2. $y=x^2$ ($0\le x\le 2$)을 $x$축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하시오. 3. 어떤 입체를 $x$축에 수직으로 잘랐을 때 $0\le x\le 3$에서 단면이 한 변의 길이가 $x$인 정사각형이라고 한다. 이 입체의 부피를 구하시오. (원이 아닌 단면에도 $V=\int S(x)\,dx$가 그대로 적용됨을 확인하는 문제) 정답 보기: 1. $V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)\,dx = 2\pi\int_0^r (r^2-x^2)\,dx = 2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^r = 2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\pi r^3$로 익숙한 구의 부피 공식과 정확히 일치한다. 2. $V=\pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi\int_0^2 x^4\,dx = \pi\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2 = \dfrac{32\pi}{5}$ 3. 단면적 $S(x)=x^2$이므로 $V=\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$ (단면이 원이 아니어도 공식 $V=\int S(x)\,dx$는 그대로 성립한다.) ## 관련 개념 - 정적분 — 부피 공식의 기반이 되는 극한 개념 - 구분구적법 — 얇은 조각을 더해 극한을 취하는 발상의 원조 - 넓이와 정적분 — 2차원 넓이 공식과의 유사성·차이를 비교하면 이해가 깊어진다 - 치환적분 — 복잡한 단면적 함수를 적분할 때 자주 사용 - 부정적분 — 정적분 계산의 기초 도구 --- 관련 개념: - 구분구적법 (/wiki/math/%EA%B5%AC%EB%B6%84%EA%B5%AC%EC%A0%81%EB%B2%95) - 정적분 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84) - 넓이와 정적분 (/wiki/math/%EB%84%93%EC%9D%B4%EC%99%80_%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84) - 치환적분 (/wiki/math/%EC%B9%98%ED%99%98%EC%A0%81%EB%B6%84) - 부정적분 (/wiki/math/%EB%B6%80%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)