# 도형의 닮음 분야: 기하 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EB%8B%AE%EC%9D%8C --- ## 정의 두 도형이 있을 때, 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하면 다른 도형과 completely 겹쳐지는 관계를 **닮음(相似)**이라고 한다. 이때 두 도형은 서로 **닮은 도형**이라 하고, 기호로 $\backsim$(닮음 기호, "낫표"라고 읽는다)를 써서 나타낸다. 예를 들어 삼각형 $ABC$와 삼각형 $DEF$가 닮음이면 $$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$$ ("세모 $ABC$ 닮음 세모 $DEF$"라고 읽는다)로 쓴다. 이때 대응하는 변끼리의 길이의 비를 **닮음비**라 하고, 대응하는 각의 크기는 서로 같다. ## 직관 사진을 확대하거나 축소해도 사진 속 사람의 얼굴 비율은 그대로 유지된다. 지도를 실제 땅으로 늘려도 도로들 사이의 각도와 상대적인 거리 비율은 바뀌지 않는다. 닮음은 바로 이런 "모양은 그대로, 크기만 다른" 관계를 수학적으로 표현한 것이다. 즉 합동이 "모양도 크기도 완전히 같음"이라면, 닮음은 "모양은 같지만 크기는 달라도 되는" 더 넓은 개념이다. 실제로 닮음비가 $1:1$인 닮음은 곧 합동이므로, 합동은 닮음의 특수한 경우라고 볼 수 있다. ## 성질 두 삼각형이 다음 세 가지 조건 중 하나를 만족하면 닮음이다. - **SSS 닮음**: 대응하는 세 변의 길이의 비가 모두 같다. ($a:d = b:e = c:f$) - **SAS 닮음**: 대응하는 두 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다. - **AA 닮음**: 대응하는 두 각의 크기가 각각 같다. (나머지 한 각도 자동으로 같아지므로 두 각만 확인하면 된다.) 닮음비가 $m:n$인 두 도형에서 - 대응하는 변의 길이의 비는 $m:n$ - 둘레의 비도 $m:n$ - 넓이의 비는 $m^2:n^2$ (닮음비를 제곱) - (입체도형이라면) 부피의 비는 $m^3:n^3$ 넓이의 비가 제곱이 되는 이유는, 변의 길이가 $k$배 늘어나면 가로와 세로가 모두 $k$배씩 늘어나 넓이는 $k \times k = k^2$배가 되기 때문이다. ## 예시 **예시 1.** $\triangle ABC$에서 $\overline{AB}=6$, $\overline{AC}=9$이고, $\triangle ADE$에서 $\overline{AD}=4$, $\overline{AE}=6$이며 $\angle A$가 공통일 때, $$\overline{AB}:\overline{AD} = 6:4 = 3:2, \qquad \overline{AC}:\overline{AE} = 9:6 = 3:2$$ 두 변의 비가 같고 끼인각 $\angle A$가 공통(같음)이므로 SAS 닮음에 의해 $\triangle ABC \backsim \triangle ADE$이고 닮음비는 $3:2$이다. **예시 2.** 닮음비가 $2:5$인 두 정삼각형이 있다. 작은 정삼각형의 넓이가 $8\,\text{cm}^2$일 때 큰 정삼각형의 넓이는? 넓이의 비는 $2^2:5^2=4:25$이므로 $$8 : x = 4 : 25 \;\Rightarrow\; x = \frac{8 \times 25}{4} = 50 \,(\text{cm}^2)$$ ## 🌍 실생활 예시 건물이나 나무처럼 직접 재기 어려운 높이를 잴 때 닮음을 이용한다. 막대기(길이 $1\,\text{m}$)를 땅에 세워 그림자 길이가 $1.5\,\text{m}$가 나왔고, 같은 시각 나무의 그림자 길이가 $12\,\text{m}$였다면, 막대기와 나무는 태양광선의 각도가 같아 만들어지는 두 직각삼각형이 AA 닮음이다. 따라서 $$1 : 1.5 = h : 12 \;\Rightarrow\; h = \frac{12}{1.5} = 8\,(\text{m})$$ 로 나무의 높이를 직접 재지 않고도 구할 수 있다. 지도 축척, 사진 인화, 건축 도면의 축소 모형도 모두 같은 원리다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: "닮음비가 $2:1$이면 넓이의 비도 $2:1$이다." → **왜 틀렸는가**: 넓이는 가로·세로 두 방향이 모두 늘어나므로 닮음비를 제곱해야 한다. 넓이의 비는 $2^2:1^2=4:1$이다. - **잘못된 생각**: "두 삼각형에서 대응하는 각이 하나만 같으면 닮음이다." → **왜 틀렸는가**: 각 하나만 같아서는 모양이 얼마든지 달라질 수 있다. AA 닮음이 성립하려면 대응하는 각이 **두 개** 이상 같아야 한다(세 번째 각은 삼각형 내각의 합이 $180°$이므로 자동으로 같아진다). - **잘못된 생각**: "변의 길이 두 쌍의 비가 같으면 닮음이다(SSA로 오인)." → **왜 틀렸는가**: SAS 닮음은 두 변의 비가 같고 그 **끼인각**이 같아야 한다. 끼인각이 아닌 다른 각이 같은 경우(SSA)는 닮음을 보장하지 못한다. ## 확인 문제 1. 닮음비가 $3:4$인 두 정사각형이 있다. 작은 정사각형의 넓이가 $27\,\text{cm}^2$일 때, 큰 정사각형의 넓이를 구하시오. 2. 가로, 세로가 각각 $2\,\text{cm}$, $3\,\text{cm}$인 직사각형을 닮음비 $1:3$으로 확대한 직사각형을 그려 보고, 넓이가 실제로 $3^2=9$배가 되는지 직접 계산으로 확인하시오. (이 문제를 통해 "넓이의 비 = 닮음비의 제곱"이 왜 성립하는지 스스로 확인해 보자.) 3. $\triangle ABC$에서 $\angle B = 50°$, $\angle C = 70°$이고 $\triangle DEF$에서 $\angle E = 50°$, $\angle F = 60°$일 때, 두 삼각형이 닮음인지 판단하시오. 정답 보기: 1. 넓이의 비는 $3^2:4^2=9:16$이므로 $27:x=9:16 \Rightarrow x = 48\,\text{cm}^2$. 2. 확대된 직사각형은 가로 $6\,\text{cm}$, 세로 $9\,\text{cm}$이다. 원래 넓이는 $2\times3=6\,\text{cm}^2$, 확대 후 넓이는 $6\times9=54\,\text{cm}^2$이고 $54\div6=9=3^2$이므로 닮음비의 제곱과 일치한다. 3. $\triangle ABC$에서 $\angle A = 180°-50°-70°=60°$이다. $\triangle DEF$에서 $\angle D=180°-50°-60°=70°$이다. 따라서 $\angle A=\angle F=70°$? 확인해보면 $\triangle ABC$의 각은 $60°,50°,70°$이고 $\triangle DEF$의 각은 $70°,50°,60°$로 같은 세 각을 가지므로 AA 닮음(두 각이 각각 대응하여 같음)에 의해 닮음이다. ## 관련 개념 - 삼각형, 다각형: 닮음을 정의하는 기본 도형들이다. - 합동과 대칭: 닮음비가 $1:1$인 특수한 닮음이다. - 삼각비: 직각삼각형의 닮음 관계에서 변의 비가 각의 크기에 의해 결정된다는 사실에서 출발한다. - 피타고라스 정리: 직각삼각형의 닮음을 이용해 증명할 수 있다. - 삼각형의 성질: 닮음 조건과 함께 삼각형의 각·변 사이의 관계를 다룬다. --- 관련 개념: - 합동과 대칭 (/wiki/math/%ED%95%A9%EB%8F%99%EA%B3%BC_%EB%8C%80%EC%B9%AD) - 삼각형 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95) - 다각형 (/wiki/math/%EB%8B%A4%EA%B0%81%ED%98%95) - 삼각비 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84) - 피타고라스 정리 (/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC) - 삼각형의 성질 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95%EC%9D%98_%EC%84%B1%EC%A7%88)