경우의 수와 확률의 기초

확률통계 중등 · v1 · 🤖 LLM 버전

정의

어떤 실험이나 관찰을 할 때 일어날 수 있는 결과 하나하나를 사건이라 하고, 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라고 한다. 예를 들어 동전 한 개를 던지면 나올 수 있는 결과는 앞면, 뒷면 2가지이므로 이때의 경우의 수는 2이다.

두 사건 $A$, $B$가 동시에 일어나지 않을 때, "$A$ 또는 $B$"가 일어나는 경우의 수는 각각의 경우의 수를 더해서 구한다(합의 법칙). 사건 $A$가 일어난 후 이어서 사건 $B$가 일어날 때, "$A$이고 $B$"가 일어나는 경우의 수는 각각의 경우의 수를 곱해서 구한다(곱의 법칙).

어떤 실험에서 일어날 수 있는 모든 경우가 똑같이 일어날 가능성을 가질 때, 사건 $A$가 일어날 확률은 다음과 같이 정의한다.

$$P(A) = \dfrac{(\text{사건 } A\text{가 일어나는 경우의 수})}{(\text{일어날 수 있는 모든 경우의 수})}$$

여기서 $P(A)$($P$는 확률(probability)의 첫 글자로, "피 에이"라고 읽으며 "사건 $A$가 일어날 확률"을 뜻한다)이다.

직관

확률을 "가능성의 비율"이라고 생각하면 쉽다. 모든 경우를 크기가 같은 조각으로 나눈 원판이 있다고 상상해 보자. 사건 $A$가 차지하는 조각의 개수를 전체 조각의 개수로 나눈 것이 바로 $P(A)$이다. 조각이 커질수록(경우의 수가 많아질수록) 확률도 커지고, 전체를 다 차지하면 확률은 1, 아예 차지하지 않으면 확률은 0이 된다.

성질

• $0 \le P(A) \le 1$
• 반드시 일어나는 사건의 확률은 1, 절대 일어나지 않는 사건(공사건)의 확률은 0이다.
• 사건 $A$가 일어나지 않는 사건을 $A$의 여사건이라 하며, $P(A) + P(A\text{의 여사건}) = 1$이 성립한다. "적어도 하나"가 들어간 문제는 여사건을 이용하면 계산이 훨씬 쉬워진다.

예시

예시 1 (경우의 수 – 곱의 법칙). 셔츠 3벌, 바지 2벌이 있을 때 옷을 한 벌씩 짝지어 입는 방법의 수는 $3 \times 2 = 6$(가지)이다.

예시 2 (확률). 주사위 1개를 던질 때 짝수의 눈이 나올 경우의 수는 2, 4, 6의 3가지이고, 전체 경우의 수는 6가지이므로

$$P(\text{짝수}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

예시 3 (여사건). 동전 2개를 동시에 던질 때 "적어도 한 개는 앞면"이 나올 확률을 구해 보자. 전체 경우는 (앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)의 4가지이다. 여사건인 "모두 뒷면"이 나올 확률은 $\frac14$이므로, 구하는 확률은 $1 - \dfrac14 = \dfrac34$이다.

🌍 실생활 예시

일기예보의 "오늘 강수 확률 60%"라는 표현도 확률의 예이다. 다만 동전이나 주사위처럼 모든 경우가 똑같이 일어날 가능성을 갖는 상황이 아니라, 기온·습도·기압 등이 비슷했던 과거 사례들을 모아 그중 실제로 비가 온 비율을 확률로 나타낸 것이다. 즉 "비슷한 조건 100번 중 60번은 비가 왔다"는 뜻으로 해석하며, 이는 통계적 확률(상대도수를 이용한 확률)의 대표적인 활용 사례다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 동전 2개를 던질 때 결과를 "둘 다 앞면, 둘 다 뒷면, 하나씩" 3가지로 센다. → 왜 틀렸는가: 두 동전은 서로 다른 동전이므로 (앞,뒤)와 (뒤,앞)은 다른 경우다. 순서(또는 어느 동전인지)를 구분하지 않으면 경우의 수가 실제(4가지)보다 적게 세어져 확률 계산이 틀어진다.
• 잘못된 생각: 주사위 2개의 눈의 합이 2가 나올 확률과 7이 나올 확률이 "합이 나올 수 있는 값이니까" 같다고 생각한다. → 왜 틀렸는가: 똑같이 가능성이 같은 것은 눈의 합이 아니라 $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$의 36가지 순서쌍이다. 합이 2인 경우는 $(1,1)$ 1가지뿐이지만 합이 7인 경우는 $(1,6),(2,5),\dots,(6,1)$ 6가지이므로 확률은 각각 $\frac{1}{36}$, $\frac{6}{36}$으로 다르다.
• 잘못된 생각: "적어도 하나는 ~"인 확률을 구할 때 해당하는 경우를 하나하나 나열해서 더한다. → 왜 틀렸는가: 경우의 수가 많아지면 빠뜨리기 쉽다. 여사건(모두 해당하지 않는 경우)의 확률을 구해 1에서 빼는 것이 훨씬 정확하고 빠르다.

확인 문제

1. 서로 다른 동전 2개를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.
2. 주사위 2개를 동시에 던져 나온 눈의 합이 2일 확률과 합이 7일 확률을 각각 구하고, 두 확률이 왜 다른지 설명하시오.
3. 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공을 1개 임의로 꺼낼 때, 그 공이 파란 공일 확률을 구하시오.

관련 개념

• 자연수 — 경우의 수를 세는 데 필요한 가장 기초적인 수 체계
• 곱셈 — 곱의 법칙에서 경우의 수를 곱하는 연산의 바탕
• 순열 — 순서를 구분하여 경우의 수를 세는 방법으로 확장
• 조합 — 순서를 구분하지 않고 경우의 수를 세는 방법으로 확장
• 조건부확률 — 어떤 사건이 일어났다는 조건 아래에서의 확률로 확장