# 피타고라스 정리

분야: 기하
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

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## 정의

직각삼각형(한 각이 $90°$인 삼각형)에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 $a$, $b$라 하고, 직각과 마주보는 가장 긴 변인 빗변의 길이를 $c$라 하면 다음이 성립한다.

$$a^2+b^2=c^2$$

($a^2+b^2=c^2$은 "$a$ 제곱 더하기 $b$ 제곱은 $c$ 제곱과 같다"라고 읽는다.) 이를 **피타고라스 정리**라 한다. 거꾸로, 삼각형의 세 변 $a$, $b$, $c$가 $a^2+b^2=c^2$을 만족하면 그 삼각형은 반드시 직각삼각형이다(피타고라스 정리의 역).

## 직관

직각삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 세 개 그려 보자. 직각을 낀 두 변 위에 그린 정사각형의 넓이를 더하면, 빗변 위에 그린 정사각형의 넓이와 정확히 같아진다. 즉 "작은 정사각형 두 개의 넓이 합 = 큰 정사각형 하나의 넓이"라는 그림으로 이해하면 공식이 왜 성립하는지 감이 잡힌다. 이 정리 덕분에 두 변의 길이만 알아도 나머지 한 변의 길이를 항상 구할 수 있다.

## 예시

**예시 1.** 직각을 낀 두 변이 $3$cm, $4$cm인 직각삼각형의 빗변 길이는?

$$c^2 = 3^2+4^2 = 9+16 = 25 \;\Rightarrow\; c=\sqrt{25}=5\text{(cm)}$$

**예시 2.** 빗변이 $13$, 한 직각변이 $5$일 때 나머지 변의 길이는?

$$b^2 = 13^2-5^2 = 169-25=144 \;\Rightarrow\; b=\sqrt{144}=12$$

**예시 3 (역의 활용).** 세 변이 $6$, $8$, $10$인 삼각형이 직각삼각형인지 확인하면, $6^2+8^2=36+64=100=10^2$이므로 직각삼각형이 맞다.

## 🌍 실생활 예시

건축 현장에서 벽이나 바닥의 모서리가 정확히 직각인지 확인할 때 "3-4-5 법"을 쓴다. 줄자로 한 변을 $3$m, 다른 변을 $4$m로 표시한 뒤 두 끝점 사이의 대각선 거리가 $5$m가 되도록 맞추면, $3^2+4^2=5^2$이 성립하므로 그 모서리는 정확한 직각이 된다. 값비싼 직각자 없이도 줄자만으로 직각을 확인할 수 있어 실제 건설·목공 현장에서 널리 쓰인다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각:** $\sqrt{a^2+b^2}$을 $a+b$로 계산한다.
  **왜 틀렸는지:** 제곱근(루트, $\sqrt{\;}$)은 덧셈에 대해 분배되지 않는다. 예를 들어 $a=3$, $b=4$면 $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$이지만 $a+b=7$로 서로 다르다. 반드시 제곱을 먼저 더한 뒤 그 결과의 제곱근을 구해야 한다.

- **잘못된 생각:** 문제에 주어진 아무 변이나 $c$(빗변)로 놓고 계산한다.
  **왜 틀렸는지:** 빗변은 항상 직각과 마주보는, 가장 긴 변이어야 한다. 직각의 위치를 먼저 확인하지 않고 가장 마지막에 적힌 변이나 가장 긴 것처럼 보이는 변을 임의로 빗변으로 놓으면 식 자체가 틀어진다.

- **잘못된 생각:** 직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에도 $a^2+b^2=c^2$을 적용한다.
  **왜 틀렸는지:** 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 직각인지 확인하지 않은 채 변의 길이만 보고 공식을 적용하면 틀린 결론에 이른다.

## 확인 문제

1. 직각을 낀 두 변이 $9$cm, $12$cm인 직각삼각형의 빗변 길이를 구하시오.
2. 빗변이 $17$, 한 직각변이 $8$일 때 나머지 변의 길이를 구하시오.
3. 세 변의 길이가 $7$, $24$, $25$인 삼각형이 직각삼각형인지 판별하시오.

정답 보기:

1. $c^2=9^2+12^2=81+144=225$이므로 $c=\sqrt{225}=15$(cm)이다.
2. $b^2=17^2-8^2=289-64=225$이므로 $b=\sqrt{225}=15$이다.
3. $7^2+24^2=49+576=625$이고 $25^2=625$이므로 두 값이 같아 직각삼각형이 맞다.



## 관련 개념

- 삼각형 — 피타고라스 정리는 직각삼각형이라는 특수한 삼각형에서 성립하는 성질이다.
- 삼각형의 성질 — 직각삼각형의 변 사이 관계를 다루는 배경 지식이다.
- 제곱근과 무리수 — 빗변의 길이를 구할 때 제곱근 계산이 필요하다.
- 삼각비 — 직각삼각형의 변의 비를 각도와 연결지어 확장한 개념이다.
- 평면좌표 — 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구할 때 피타고라스 정리가 그대로 쓰인다.

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관련 개념:
- 삼각형 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95)
- 삼각형의 성질 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95%EC%9D%98_%EC%84%B1%EC%A7%88)
- 제곱근과 무리수 (/wiki/math/%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%EA%B3%BC_%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98)
- 삼각비 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84)
- 평면좌표 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C)