🚪 확장 지점 이 개념은 여기서 한 번 넓어져요 — 평면벡터 → 공간벡터. 막히는 지점: 공중에 떠 있는 두 점의 관계를 어떻게 적는가? 평면 위의 성분 $(x,\ y)$만으로는 높이를 적을 자리가 없다. 확장 지도에서 다섯 칸으로 보기
정의
평면 위의 두 점 $A$, $B$에 대하여 점 $A$에서 점 $B$로 향하는 크기와 방향을 가진 양을 벡터라 하고, 이를 $\overrightarrow{AB}$(벡터 AB라 읽는다)로 나타낸다. 이때 $A$를 시작점, $B$를 끝점이라 한다. 벡터는 시작점의 위치와 관계없이 크기와 방향이 같으면 같은 벡터로 취급하며, 이를 기호로 $\vec{a} = \vec{b}$라 쓴다.
평면벡터는 좌표를 이용해 성분으로 나타낼 수 있다. 시작점을 원점에 두었을 때 끝점의 좌표가 $(a_1, a_2)$이면 이 벡터를 $\vec{a} = (a_1, a_2)$로 쓴다. 벡터의 크기는 $|\vec{a}|$(벡터 a의 크기라 읽는다)로 나타내고
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$
로 계산한다. 방향과 크기가 모두 $0$인 벡터를 영벡터라 하고 $\vec{0}$으로 나타낸다.
직관
벡터는 "얼마나, 어느 방향으로 이동했는가"를 나타내는 도구다. 지도 위에서 "동쪽으로 3km, 북쪽으로 4km 이동했다"는 정보는 하나의 숫자로는 담을 수 없지만, 화살표(크기와 방향)로는 정확히 표현된다. 이 화살표를 좌표평면에 놓으면 그 끝점의 좌표가 곧 벡터의 성분이 된다.
중요한 점은 벡터가 "어디서 시작했는가"를 기억하지 않는다는 것이다. 교실 앞자리에서 오른쪽으로 2칸 이동한 것과 뒷자리에서 오른쪽으로 2칸 이동한 것은 시작 위치는 다르지만 "이동" 자체는 완전히 같다. 이처럼 벡터는 위치를 무시하고 순수한 변화량(방향과 거리)만을 표현하는 양이다.
성질
두 벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$와 실수 $k$에 대하여 다음이 성립한다.
덧셈: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)$
실수배: $k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)$ (단, $k<0$이면 방향이 반대가 된다)
평행: $\vec{a} \parallel \vec{b}$ ($\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$)일 필요충분조건은 $\vec{b} = k\vec{a}$가 되는 실수 $k$가 존재하는 것이다.
두 벡터의 합은 평행사변형법(두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선)으로도 작도할 수 있다.
벡터 $\vec{a}=(2,3)$의 방향은 원점을 지나고 $(2,3)$을 지나는 직선의 방향과 같다. 이 직선은 $y=\dfrac{3}{2}x$이다.
🌍 실생활 예시
내비게이션이나 게임 속 캐릭터의 움직임은 벡터로 표현된다. 예를 들어 캐릭터가 초당 (3, -2)만큼 이동한다면, 이는 오른쪽으로 3만큼, 아래로 2만큼 동시에 이동하는 것을 하나의 벡터로 표현한 것이다. 여러 힘(바람, 캐릭터 조작 등)이 동시에 작용할 때는 각 벡터를 성분끼리 더해서 실제 이동 결과를 계산한다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 벡터의 크기끼리 그냥 더하면 합벡터의 크기가 된다, 즉 $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}|+|\vec{b}|$이다.
왜 틀렸는가: 방향이 다르면 벡터는 상쇄되거나 비껴가며 더해진다. 예를 들어 $\vec{a}=(3,0)$, $\vec{b}=(0,4)$이면 $|\vec{a}|+|\vec{b}|=7$이지만 $|\vec{a}+\vec{b}|=|(3,4)|=5$이다. 두 벡터가 완전히 같은 방향일 때만 등호가 성립한다.
잘못된 생각: 시작점이 다르면 다른 벡터다.
왜 틀렸는가: 벡터는 위치가 아니라 크기와 방향만으로 결정되는 자유벡터다. $A(1,1)$에서 $B(4,3)$으로 가는 벡터와 $C(0,5)$에서 $D(3,7)$로 가는 벡터는 시작점이 다르지만 둘 다 $(3,2)$로 성분이 같으므로 같은 벡터다.
잘못된 생각: 벡터를 실수 $k$배 할 때 $k$가 음수여도 크기만 $|k|$배 된다고 생각하고 방향은 그대로 둔다.
왜 틀렸는가: $k<0$이면 크기는 $|k|$배가 되지만 방향은 정반대로 뒤집힌다. 예를 들어 $-2\vec{a}$는 $\vec{a}$와 크기는 $2$배지만 방향은 $180°$ 반대다.
확인 문제
$A(1,1)$, $B(4,5)$일 때 $\overrightarrow{AB}$의 성분과 크기를 구하라.
(개념을 다지는 문제) 평면 위에 $A(0,0)$, $B(3,1)$, $C(1,4)$가 있다. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$가 성립하도록 하는 점 $D$의 좌표를 구하고, 이 결과가 왜 "벡터는 시작점이 아니라 방향과 크기로 결정된다"는 사실을 보여주는지 설명해보라.
$\overrightarrow{AB} = (3,1)$이므로 $\overrightarrow{DC} = C - D = (3,1)$을 만족해야 한다. 따라서 $D = C - (3,1) = (1-3,\ 4-1) = (-2,3)$. $A,B$와 $D,C$는 서로 다른 위치에 있지만 이동한 방향과 거리(성분)가 정확히 같으므로 같은 벡터가 된다 — 즉 벡터의 동등성은 위치가 아니라 성분(방향·크기)만으로 결정된다.