이고, 이 값은 위 정의식의 값과 항상 일치한다. 중요한 점은 **내적의 결과는 벡터가 아니라 하나의 실수(스칼라)**라는 것이다.
직관
내적은 "한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 뻗어 있는가"를 재는 도구로 이해하면 쉽다. $|\vec{a}|\cos\theta$는 $\vec{a}$를 $\vec{b}$ 방향으로 정사영(그림자를 떨어뜨린 길이)한 것이므로, $\vec{a}\cdot\vec{b}$는 그 그림자 길이에 $|\vec{b}|$를 곱한 값이다.
두 벡터가 같은 방향에 가까울수록($\theta$가 작을수록) $\cos\theta$가 커져 내적이 크고, 수직($\theta=90°$)이면 그림자가 없어져 내적이 $0$이 되고, 반대 방향에 가까울수록 내적은 음수가 된다. 즉 내적의 부호와 크기는 두 벡터가 "얼마나 같은 방향을 향하는가"를 숫자로 보여준다.
물리학에서 일(work)은 힘과 이동 방향의 내적으로 계산한다. 힘 $\vec{F}$를 가해 물체를 변위 $\vec{d}$만큼 이동시켰을 때 실제로 한 일은 $W = \vec{F}\cdot\vec{d} = |\vec{F}||\vec{d}|\cos\theta$이다. 예를 들어 짐을 끄는 줄을 지면과 $30°$ 각도로 당기면, 힘의 일부만 이동 방향으로 작용하므로 $\cos 30°$만큼만 일에 반영되고 나머지는 물체를 들어 올리는 데 쓰인다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 내적도 벡터끼리의 곱이니 결과가 벡터일 것이다. → 왜 틀렸는지: 내적은 크기와 각도만으로 정해지는 실수(스칼라)이다. 벡터의 곱셈처럼 방향을 갖는 결과를 기대하면 안 되며, 방향 정보가 있는 곱은 벡터곱(외적)으로 따로 정의된다.
잘못된 생각: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이면 $\vec{a}=\vec{0}$ 또는 $\vec{b}=\vec{0}$이다(실수의 곱셈과 같은 방식으로 생각). → 왜 틀렸는지: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$은 $\cos\theta=0$, 즉 두 벡터가 수직임을 뜻하는 경우가 대부분이다. 두 벡터 모두 영벡터가 아니어도 얼마든지 내적이 $0$이 될 수 있다.
잘못된 생각: $(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2) = (a_1b_1,\ a_2b_2)$처럼 성분끼리 곱해 벡터로 답한다. → 왜 틀렸는지: 내적은 대응하는 성분끼리 곱한 뒤 모두 더해서 하나의 수로 만드는 연산이다. 곱한 결과를 다시 벡터로 남겨두면 정의를 잘못 적용한 것이다.
확인 문제
$\vec{a}=(2,-1)$, $\vec{b}=(3,4)$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 구하시오.
$|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=5$이고 두 벡터의 사이각이 $120°$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 구하시오.
(개념 확인) $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(x,-1)$이 서로 수직이 되도록 하는 $x$의 값을 구하고, $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이 왜 "수직"을 의미하는지 $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 식을 이용해 설명하시오.
$x-2=0$이므로 $x=2$. 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 $|\vec{a}|,|\vec{b}|>0$이므로 $\cos\theta=0$이 되려면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이어야 하고, $\cos\theta=0$은 $\theta=90°$, 즉 두 벡터가 수직임을 뜻한다.