# 속도와 가속도

분야: 해석
학교급: 고등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%86%8D%EB%8F%84%EC%99%80_%EA%B0%80%EC%86%8D%EB%8F%84

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<!-- prereq: 도함수, 미분계수 -->

## 정의

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 위치가 $x(t)$로 주어졌다고 하자. 시각 $t$에서 $t+\Delta t$까지 위치의 평균변화율

$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$

를 그 구간에서의 **평균속도**라 한다. 이때 $\Delta t \to 0$일 때의 극한값이 존재하면 이를 시각 $t$에서의 **속도**(velocity)라 하고

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t)$$

로 나타낸다. 즉 속도는 위치함수 $x(t)$의 미분계수이자 도함수이다. 속도의 절댓값 $|v(t)|$를 **속력**(speed)이라 한다.

같은 방법으로 속도 $v(t)$의 순간변화율을 **가속도**(acceleration)라 하며

$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = v'(t) = x''(t)$$

로 나타낸다. $x''(t)$($x$ 이중 프라임 $t$라 읽는다, $x(t)$를 두 번 미분한 함수)는 위치함수를 두 번 미분한 것과 같다.

## 직관

위치를 시각 $t$에 대한 그래프로 그리면, 그 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기가 바로 그 순간의 속도다. 속도-시각 그래프에서도 마찬가지로 접선의 기울기가 가속도가 된다. 즉 "속도는 위치가 얼마나 빨리 변하는가", "가속도는 속도가 얼마나 빨리 변하는가"를 나타내는, 한 단계씩 더 들어간 순간변화율이다.

자동차 계기판의 속도계 바늘이 가리키는 숫자가 바로 그 순간의 속력이고, 가속페달을 밟았을 때 몸이 좌석에 눌리는 느낌이 가속도의 크기와 관련 있다고 생각하면 감이 잡힌다.

## 유도

미분계수에서 함수 $y=f(x)$ 위 한 점에서의 순간변화율을 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$로 정의했다. 이 아이디어를 시간에 따라 움직이는 점의 위치 $x(t)$에 그대로 적용해서, "그 순간의 빠르기"가 왜 하필 이런 극한으로 정의되는지 따라가 보자.

**1단계: 평균속도로는 부족하다.** 예를 들어 $x(t) = t^2$인 점이 있다고 하자. $t=1$부터 $t=1+\Delta t$까지의 평균속도는

$$\frac{x(1+\Delta t) - x(1)}{\Delta t} = \frac{(1+\Delta t)^2 - 1}{\Delta t} = \frac{2\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2 + \Delta t$$

이다. $\Delta t = 1$이면 평균속도는 $3$, $\Delta t = 0.1$이면 $2.1$로, 구간을 잡는 방식에 따라 값이 계속 달라진다. 아무리 $\Delta t$를 작게 잡아도 여전히 "구간의 평균"일 뿐, $t=1$ **그 순간**의 빠르기라고 확정할 수는 없다.

**2단계: 구간을 0으로 좁힌다.** 그런데 위 식 $2+\Delta t$를 보면 $\Delta t$가 $0$에 한없이 가까워질수록 값이 $2$에 한없이 가까워지는 것을 알 수 있다. 이 극한값

$$v(1) = \lim_{\Delta t \to 0} (2+\Delta t) = 2$$

는 더 이상 특정 구간의 선택에 의존하지 않는, $t=1$에서만 결정되는 단 하나의 값이다. 일반적인 $t$에 대해서도 같은 계산을 하면 $\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} = \dfrac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t \to 2t$이므로 $v(t) = 2t = x'(t)$를 얻는다. 즉 평균속도의 극한은 정확히 미분계수의 정의와 같은 꼴이 되고, 그래서 속도를 $v(t) = x'(t)$로 정의한다.

**3단계: 같은 논리를 속도에 다시 적용한다.** 속도 $v(t)$ 역시 시각에 따라 변하는 하나의 함수이므로, 그 순간변화율을 알고 싶다면 $1$~$2$단계와 똑같은 과정을 $v(t)$에 대해 반복하면 된다. 즉 $\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$를 구하는 것인데, 이는 $v(t)$의 도함수, 즉 $x(t)$를 두 번 미분한 것과 같다. 이 값을 가속도 $a(t) = v'(t) = x''(t)$로 정의한다.

## 성질

- $v(t) > 0$이면 점은 양의 방향으로, $v(t) < 0$이면 음의 방향으로 움직인다. $v(t) = 0$인 순간은 방향을 바꾸거나 순간적으로 멈추는 지점이다.
- $a(t) > 0$이면 속도가 증가하는 중이고, $a(t) < 0$이면 속도가 감소하는 중이다.
- **속력**이 증가하려면 $v(t)$와 $a(t)$의 부호가 서로 같아야 하고, 속력이 감소하려면 부호가 서로 달라야 한다.
- $a(t) = 0$이 항상 성립하면 $v(t)$는 상수이므로 등속도 운동이다. (속도가 0이라는 뜻이 아니다.)

## 예시

위치함수가 $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \;(t \ge 0)$로 주어졌다고 하자.

$$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3), \qquad a(t) = v'(t) = 6t-12$$

| $t$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $v(t)$ | 9 | 0 | $-3$ | 0 | 9 |
| $a(t)$ | $-12$ | $-6$ | 0 | 6 | 12 |

$t=1$에서 $v(1)=0$이고 이 앞뒤로 $v$의 부호가 $+\to-$로 바뀌므로 점은 이 순간 운동 방향을 바꾼다. $t=3$에서도 마찬가지로 $-\to+$로 방향이 바뀐다. 반면 $t=2$에서는 $a(2)=0$이지만 $v(2)=-3\neq0$이므로 점은 계속 음의 방향으로 움직이고 있다(단지 그 순간 속도의 증가·감소가 뒤바뀌는 지점일 뿐).


그래프: y=x^3 - 6*x^2 + 9*x, y=3*x^2 - 12*x + 9 (정의역 0~5)


## 🌍 실생활 예시

자동차의 "제로백"(0에서 시속 100km까지 걸리는 시간)은 평균가속도 개념의 대표적인 예다. 예를 들어 어떤 차가 정지 상태(속력 0)에서 5초 만에 시속 100km(약 $27.8\text{ m/s}$)에 도달했다면, 이 구간의 평균가속도는 $\dfrac{27.8 - 0}{5} \approx 5.56 \text{ m/s}^2$이다. 실제 주행 중에는 페달을 밟는 정도에 따라 가속도가 순간마다 달라지므로, 진짜 그 순간의 가속도를 구하려면 속도함수를 미분해야 한다.

## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: 속도가 음수이면 "느려지고 있다"는 뜻이다. → **왜 틀렸는가**: 속도의 부호는 크기가 아니라 운동 방향을 나타낸다. $v(t) = -5\text{ m/s}$는 속력 $5\text{ m/s}$로 음의 방향으로 움직이고 있다는 뜻이지, 정지 직전이라는 뜻이 아니다.
- **잘못된 생각**: 가속도가 $0$이면 물체가 멈춰 있다. → **왜 틀렸는가**: 가속도는 속도의 변화율이지 속도 자체가 아니다. $a(t)=0$은 속도가 일정하다(등속도 운동)는 뜻이며, 그 일정한 속도가 $0$이 아닐 수도 있다.
- **잘못된 생각**: 가속도가 양수이면 항상 속력이 커진다. → **왜 틀렸는가**: 속력이 커지려면 $v(t)$와 $a(t)$의 부호가 같아야 한다. $v(t) < 0$인데 $a(t) > 0$이면 오히려 속력(크기)은 줄어드는 중이다.

## 확인 문제

1. 위치함수가 $x(t) = t^2 - 6t \;(t\ge 0)$일 때, $v(t)$와 $a(t)$를 구하고 점이 양의 방향으로 움직이는 시각의 범위를 구하시오.
2. 어떤 점의 운동에서 $t=2$일 때 $v(2) = -4$, $a(2) = -3$이라고 한다. 이 순간 점의 속력은 증가하는 중인가, 감소하는 중인가? 부호를 근거로 설명하시오.
3. 위 예시의 $x(t) = t^3-6t^2+9t$에서 $t=0$부터 $t=1$까지 점이 이동한 거리와, $t=0$에서 $t=4$까지의 평균속도를 각각 구하시오. (단, 평균속도는 위치의 변화량을 시간으로 나눈 값임을 이용한다.)

정답 보기:

1. $v(t) = 2t-6$, $a(t)=2$. $v(t)>0 \iff t>3$이므로 $t>3$일 때 양의 방향으로 움직인다.
2. $v(2)<0$이고 $a(2)<0$으로 부호가 같으므로 속력은 증가하는 중이다. (음의 방향으로 점점 더 빠르게 움직이고 있다.)
3. $x(0)=0$, $x(1)=1-6+9=4$이므로 이동 거리는 $4$. $x(4)=64-96+36=4$이므로 평균속도는 $\dfrac{x(4)-x(0)}{4-0} = \dfrac{4-0}{4}=1$.



## 📜 역사

17세기 이전에는 물체가 떨어지거나 날아갈 때 "그 순간의 빠르기"를 정확히 나타낼 방법이 없었다. 평균속력은 구간을 정해야 계산할 수 있었는데, 구간을 아무리 짧게 잡아도 여전히 구간이었지 순간 그 자체는 아니었기 때문이다. 17세기 후반 아이작 뉴턴은 운동을 다루는 과정에서 이 문제를 풀기 위해 유율법(fluxion)이라 부른 방법을 고안했고, 위치의 순간변화율을 속도로, 속도의 순간변화율을 가속도로 다루었다. 비슷한 시기 고트프리트 라이프니츠도 독립적으로 미분 개념을 정리했으며, 오늘날 쓰이는 $x'(t)$, $x''(t)$ 같은 표기들은 이때 자리 잡은 극한 개념 위에서 다듬어진 것이다.

## 관련 개념

- 미분계수 — 속도는 위치함수의 한 점에서의 미분계수로 정의된다.
- 도함수 — 속도함수 $v(t)$는 위치함수의 도함수다.
- 고계도함수 — 가속도는 위치함수를 두 번 미분한 것이다.
- 함수의 극대와 극소 — 속도가 $0$이 되는 지점은 위치함수의 극값과 관련된다.
- 정적분 — 거꾸로 속도함수를 적분하면 위치의 변화량(이동 거리)을 구할 수 있다.

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관련 개념:
- 미분계수 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98)
- 도함수 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98)
- 고계도함수 (/wiki/math/%EA%B3%A0%EA%B3%84%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98)
- 함수의 극대와 극소 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%EB%8C%80%EC%99%80_%EA%B7%B9%EC%86%8C)
- 정적분 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%A0%81%EB%B6%84)