# 벡터의 내적 분야: 기하 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EC%9D%98_%EB%82%B4%EC%A0%81 --- ## 정의 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$($\vec{a}$는 "벡터 a"라 읽는다)가 모두 영벡터가 아닐 때, $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 **내적**(스칼라곱)은 다음과 같이 정의한다. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \quad (0 \le \theta \le \pi)$$ 여기서 $\theta$(세타)는 두 벡터가 이루는 각이고, $|\vec{a}|$는 $\vec{a}$의 크기(길이)이다. $\vec{a}$ 또는 $\vec{b}$가 영벡터이면 내적은 $0$으로 정의한다. 좌표평면에서 $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$이면 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$ 이고, 이 값은 위 정의식의 값과 항상 일치한다. 중요한 점은 **내적의 결과는 벡터가 아니라 하나의 실수(스칼라)**라는 것이다. ## 직관 내적은 "한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 뻗어 있는가"를 재는 도구로 이해하면 쉽다. $|\vec{a}|\cos\theta$는 $\vec{a}$를 $\vec{b}$ 방향으로 정사영(그림자를 떨어뜨린 길이)한 것이므로, $\vec{a}\cdot\vec{b}$는 그 그림자 길이에 $|\vec{b}|$를 곱한 값이다. 두 벡터가 같은 방향에 가까울수록($\theta$가 작을수록) $\cos\theta$가 커져 내적이 크고, 수직($\theta=90°$)이면 그림자가 없어져 내적이 $0$이 되고, 반대 방향에 가까울수록 내적은 음수가 된다. 즉 내적의 부호와 크기는 두 벡터가 "얼마나 같은 방향을 향하는가"를 숫자로 보여준다. ## 성질 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$가 벡터, $k$가 실수일 때 - 교환법칙: $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ - 분배법칙: $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$ - 스칼라와의 결합: $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ - 자기 자신과의 내적: $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ - 수직 조건: $\vec{a}, \vec{b}$가 영벡터가 아닐 때, $\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \iff \vec{a}\perp\vec{b}$ - 사이각: $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ## 예시 **예시 1 (성분으로 계산).** $\vec{a}=(3,4)$, $\vec{b}=(-1,2)$이면 $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\times(-1) + 4\times 2 = 5$$ 이고 $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{5}$이므로 $\cos\theta = \dfrac{5}{5\sqrt5} = \dfrac{1}{\sqrt5}$이다. **예시 2 (각과 크기로 계산).** $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$이고 두 벡터의 사이각이 $60°$이면 $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times 3\times\cos 60° = 6\times\frac12 = 3$$ **예시 3 (수직 조건).** $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(x,-1)$이 수직이면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x-2=0$이므로 $x=2$이다. ## 🌍 실생활 예시 물리학에서 일(work)은 힘과 이동 방향의 내적으로 계산한다. 힘 $\vec{F}$를 가해 물체를 변위 $\vec{d}$만큼 이동시켰을 때 실제로 한 일은 $W = \vec{F}\cdot\vec{d} = |\vec{F}||\vec{d}|\cos\theta$이다. 예를 들어 짐을 끄는 줄을 지면과 $30°$ 각도로 당기면, 힘의 일부만 이동 방향으로 작용하므로 $\cos 30°$만큼만 일에 반영되고 나머지는 물체를 들어 올리는 데 쓰인다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각:** 내적도 벡터끼리의 곱이니 결과가 벡터일 것이다. → **왜 틀렸는지:** 내적은 크기와 각도만으로 정해지는 실수(스칼라)이다. 벡터의 곱셈처럼 방향을 갖는 결과를 기대하면 안 되며, 방향 정보가 있는 곱은 벡터곱(외적)으로 따로 정의된다. - **잘못된 생각:** $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이면 $\vec{a}=\vec{0}$ 또는 $\vec{b}=\vec{0}$이다(실수의 곱셈과 같은 방식으로 생각). → **왜 틀렸는지:** $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$은 $\cos\theta=0$, 즉 두 벡터가 수직임을 뜻하는 경우가 대부분이다. 두 벡터 모두 영벡터가 아니어도 얼마든지 내적이 $0$이 될 수 있다. - **잘못된 생각:** $(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2) = (a_1b_1,\ a_2b_2)$처럼 성분끼리 곱해 벡터로 답한다. → **왜 틀렸는지:** 내적은 대응하는 성분끼리 곱한 뒤 **모두 더해서 하나의 수**로 만드는 연산이다. 곱한 결과를 다시 벡터로 남겨두면 정의를 잘못 적용한 것이다. ## 확인 문제 1. $\vec{a}=(2,-1)$, $\vec{b}=(3,4)$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 구하시오. 2. $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=5$이고 두 벡터의 사이각이 $120°$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 구하시오. 3. (개념 확인) $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(x,-1)$이 서로 수직이 되도록 하는 $x$의 값을 구하고, $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이 왜 "수직"을 의미하는지 $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 식을 이용해 설명하시오. 정답 보기: 1. $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times3 + (-1)\times4 = 6-4=2$ 2. $\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\times5\times\cos120° = 20\times(-\tfrac12) = -10$ 3. $x-2=0$이므로 $x=2$. 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 $|\vec{a}|,|\vec{b}|>0$이므로 $\cos\theta=0$이 되려면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$이어야 하고, $\cos\theta=0$은 $\theta=90°$, 즉 두 벡터가 수직임을 뜻한다. ## 관련 개념 - 벡터 - 평면벡터 - 삼각비 - 공간벡터 - 코사인법칙 --- 관련 개념: - 벡터 (/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0) - 평면벡터 (/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EB%B2%A1%ED%84%B0) - 삼각비 (/wiki/math/%EC%82%BC%EA%B0%81%EB%B9%84) - 공간벡터 (/wiki/math/%EA%B3%B5%EA%B0%84%EB%B2%A1%ED%84%B0) - 코사인법칙 (/wiki/math/%EC%BD%94%EC%82%AC%EC%9D%B8%EB%B2%95%EC%B9%99)