($\hat{I}_N$은 아이 햇 서브 엔, $I$의 추정값이라는 뜻)을 정의할 수 있다. 큰 수의 법칙(law of large numbers)에 의해
$$\hat{I}_N \xrightarrow{\ p\ } I \quad (N \to \infty)$$
($\xrightarrow{p}$는 확률수렴한다고 읽는다)이 성립하며, 중심극한정리에 의해 오차의 크기는 표본 크기 $N$에 대해 $O(1/\sqrt{N})$(오 원 오버 루트 엔, "$N$의 제곱근에 반비례하는 정도"라는 뜻)로 감소한다.
직관
결정론적 수치적분(구분구적법, 사다리꼴공식 등)은 정의역을 격자로 잘게 나누어 계산하는데, 차원 $d$가 커지면 격자점의 개수가 $O(n^d)$로 폭발적으로 증가하는 "차원의 저주"에 걸린다. 반면 몬테카를로 방법은 점을 격자가 아니라 무작위로 뿌려서 그 평균으로 적분을 추정하므로, 오차의 크기가 차원 $d$에 의존하지 않고 오직 표본 개수 $N$에만 의존한다($O(1/\sqrt{N})$).
직관적으로는 "과녁에 무작위로 다트를 던져서, 원 안에 맞은 비율로 원의 넓이를 추정한다"는 그림으로 이해하면 된다. 다트를 많이 던질수록(표본을 늘릴수록) 추정값은 실제 값에 가까워지고, 이는 곧 확률의 상대도수적 정의(경험적 확률이 이론적 확률에 수렴)와 같은 원리다.
분산 감소 기법: 중요도 표집(importance sampling), 층화추출(stratified sampling) 등으로 $\sigma^2$을 줄여 동일한 $N$에서 더 정확한 추정이 가능하다.
예시
예시 1 (원주율 추정): 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $[-1,1]\times[-1,1]$ 안에 반지름 $1$인 원을 그린다. 정사각형 내부에서 균등하게 점 $N$개를 뽑아 원 안에 들어간 점의 개수를 $M$이라 하면, 원의 넓이 대 정사각형 넓이의 비는 $\pi/4$이므로
$$\hat{\pi} = 4 \cdot \frac{M}{N}$$
으로 추정한다. 예를 들어 $N = 10000$개 중 $M = 7854$개가 원 안에 들어갔다면 $\hat{\pi} = 4 \times 0.7854 = 3.1416$이 된다.
금융공학에서는 옵션 가격을 결정할 때 미래 주가 경로를 확률과정(예: 기하 브라운 운동)으로 무수히 시뮬레이션한 뒤, 각 경로에서의 옵션 수익(payoff)을 평균 내어 현재 가치를 추정한다. 만기 조건이 복잡한 옵션(경로의존형 옵션 등)은 닫힌 형태의 공식이 없는 경우가 많아, 수만~수백만 개의 무작위 경로를 생성해 평균을 구하는 몬테카를로 시뮬레이션이 실무에서 표준적으로 쓰인다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: "표본 수 $N$을 늘리면 오차가 $N$에 반비례해서 줄어든다." → 왜 틀렸는가: 오차(표준편차)는 $O(1/\sqrt{N})$로 감소한다. 즉 오차를 절반으로 줄이려면 $N$을 2배가 아니라 4배로 늘려야 한다.
잘못된 생각: "몬테카를로 방법은 확률적이므로 매번 답이 다르니 신뢰할 수 없다." → 왜 틀렸는가: 추정량 $\hat{I}_N$ 자체가 확률변수이지만 $\mathbb{E}[\hat{I}_N] = I$로 비편향이며, 신뢰구간(예: $\hat{I}_N \pm 1.96\,\sigma/\sqrt{N}$)을 함께 제시하면 정량적으로 신뢰도를 관리할 수 있다. 무작위성은 결함이 아니라 방법의 근간이다.
잘못된 생각: "정의역 $D$가 아니라 아무 분포에서나 표본을 뽑아 단순 평균을 내면 된다." → 왜 틀렸는가: 추정량 공식 $\hat{I}_N = \frac{\text{Vol}(D)}{N}\sum f(X_i)$은 $X_i$가 반드시 $D$ 위의 균등분포(또는 그에 맞게 가중치를 보정한 다른 분포, 즉 중요도 표집)에서 뽑혔을 때만 비편향 추정량이 된다. 표집 분포를 바꾸면 반드시 그에 맞는 가중치(예: $f(X_i)/p(X_i)$)를 곱해야 한다.
확인 문제
$[0,1]$ 구간에서 $X_i \sim U(0,1)$을 뽑아 $I = \int_0^1 x^2\,dx$를 몬테카를로로 추정하려고 한다. $N=4$개의 표본 $0.2,\ 0.5,\ 0.7,\ 0.9$를 얻었다면 $\hat{I}_4$의 값은? (참값 $1/3$과 비교해보라.)
정사각형-원 방법으로 원주율을 추정할 때, $N=1000$개 점 중 $785$개가 원 안에 들어갔다면 $\hat{\pi}$는 얼마인가?
몬테카를로 추정의 오차(표준편차)를 현재의 $\frac{1}{10}$로 줄이려면 표본 수 $N$을 몇 배로 늘려야 하는지 $O(1/\sqrt{N})$ 관계로부터 설명하시오. 이 관계로부터 왜 몬테카를로 방법이 "정밀도를 조금 높이는 데 비용이 많이 드는" 방법인지 직관을 서술하시오.
정답 보기
$\hat{I}_4 = \frac{1}{4}(0.2^2+0.5^2+0.7^2+0.9^2) = \frac{1}{4}(0.04+0.25+0.49+0.81) = \frac{1.59}{4} = 0.3975$. 참값 $1/3 \approx 0.3333$과 다소 차이가 나는데, 이는 $N=4$가 너무 작아 큰 수의 법칙이 충분히 작동하지 않았기 때문이다.
$\hat{\pi} = 4 \times \frac{785}{1000} = 3.14$.
오차 $\propto 1/\sqrt{N}$이므로 오차를 $1/10$로 줄이려면 $\sqrt{N}$을 10배로, 즉 $N$을 $10^2=100$배로 늘려야 한다. 이는 정확도(유효숫자)를 한 자릿수 더 얻으려면 계산량을 100배 늘려야 함을 뜻하므로, 몬테카를로 방법은 차원이 낮을 때는 격자법보다 비효율적일 수 있지만 차원이 매우 높을 때는 이 "100배" 비용이 차원과 무관하다는 점에서 오히려 유리해진다.