# 고계도함수 분야: 해석 학교급: 고등 교육과정: 3차 교육과정에서 도입 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EA%B3%A0%EA%B3%84%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98 --- > 이 개념은 3차 교육과정에서 도입되었다. ## 정의 함수 $f(x)$가 미분가능할 때 그 도함수 $f'(x)$를 정의할 수 있다. 이때 $f'(x)$가 다시 미분가능하면 $f'(x)$를 미분하여 얻은 함수를 $f(x)$의 **이계도함수**(second derivative)라 하고 $$f''(x), \quad y'', \quad \frac{d^2y}{dx^2}$$ 로 나타낸다. $f''(x)$는 "에프 이중 프라임 엑스"라 읽고, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$는 "디 제곱 와이 디엑스 제곱"이라 읽는다. 같은 방법으로 $f''(x)$를 미분하면 **삼계도함수** $f'''(x)$를, 이 과정을 $n$번 반복하면 **$n$계도함수**를 얻으며 이를 $$f^{(n)}(x), \quad y^{(n)}, \quad \frac{d^ny}{dx^n}$$ 로 쓴다. $f^{(n)}(x)$는 "에프의 $n$계도함수"라 읽는다. 이계도함수 이상을 통틀어 **고계도함수**(higher-order derivative)라 부른다. ## 직관 도함수 $f'(x)$가 "$f(x)$가 얼마나 빠르게 변하는가"를 나타낸다면, 이계도함수 $f''(x)$는 "그 변화의 빠르기 자체가 얼마나 빠르게 변하는가"를 나타낸다. 가장 익숙한 예는 속도와 가속도다. 위치 $s(t)$를 한 번 미분하면 속도 $v(t)=s'(t)$가 되고, 속도를 다시 미분하면 가속도 $a(t)=v'(t)=s''(t)$가 된다. 즉 가속도는 위치의 이계도함수다. 이렇게 "변화율의 변화율"을 반복해서 살피는 것이 고계도함수의 핵심 아이디어다. ## 예시 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 일 때, $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$ $$f''(x) = 6x - 6$$ $$f'''(x) = 6$$ $$f^{(4)}(x) = 0$$ 3차함수는 미분할 때마다 차수가 하나씩 낮아지므로 삼계도함수에서 상수가 되고, 사계도함수부터는 항등적으로 $0$이 된다. $f(x)=x^3-3x$의 그래프와 $f''(x)=6x$의 그래프를 함께 보면, $f''(x)$의 부호가 바뀌는 $x=0$ 부근에서 원래 그래프의 휘어지는 방향(오목/볼록)이 바뀌는 것을 관찰할 수 있다. 그래프: y=x^3-3*x, y=6*x (정의역 -3~3) ## 🌍 실생활 예시 롤러코스터나 자동차 설계에서는 가속도의 변화율, 즉 위치함수의 **삼계도함수**(저크, jerk)를 함께 고려한다. 가속도가 갑자기 크게 바뀌면 몸이 받는 충격이 급격해져 승차감이 나빠지므로, 실제 설계에서는 삼계도함수까지 조절해서 가속도가 부드럽게 변하도록 만든다. ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각**: $f''(x)$를 $\{f'(x)\}^2$, 즉 $f'(x)$의 제곱으로 계산한다. → **왜 틀렸는지**: $f''(x)$는 $f'(x)$를 "다시 미분한" 함수이지 제곱한 것이 아니다. 예를 들어 $f'(x)=3x^2-6x+2$일 때 $f''(x)=6x-6$이지 $(3x^2-6x+2)^2$이 아니다. - **잘못된 생각**: $f^{(n)}(x)$의 위첨자 $(n)$을 지수로 착각해 $f(x)^n$과 혼동한다. → **왜 틀렸는지**: 괄호 친 $(n)$은 "$n$번 미분했다"는 뜻이고, 괄호 없는 지수 $n$은 거듭제곱이다. $f^{(2)}(x)=f''(x)$이지 $\{f(x)\}^2$이 아니다. - **잘못된 생각**: 다항함수는 몇 번을 미분해도 항상 새로운 다항식이 나온다고 생각한다. → **왜 틀렸는지**: $n$차 다항함수는 $n$번 미분하면 상수, $(n+1)$번째부터는 미분값이 항등적으로 $0$이 된다. 계속 미분한다고 없던 항이 생기지 않는다. ## 확인 문제 1. $f(x) = x^4 - 2x^3 + x$ 일 때 $f''(x)$를 구하라. 2. 물체의 위치가 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ (m, $t$는 초)로 주어질 때, 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$를 각각 구하고, $t=0$일 때 이 물체가 속력이 빨라지는 중인지 느려지는 중인지 그 이유와 함께 설명하라. 3. $g(x) = \sin x$ 일 때 $g''(x)$와 $g^{(4)}(x)$를 구하라. (단, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$) 정답 보기: 1. $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$, $f''(x) = 12x^2 - 12x$ 2. $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $a(t) = v'(t) = 6t - 12$. $t=0$에서 $v(0) = 9 > 0$, $a(0) = -12 < 0$으로 속도와 가속도의 부호가 반대다. 속도와 가속도가 같은 부호이면 속력이 점점 빨라지고, 반대 부호이면 점점 느려지므로 $t=0$에서 물체는 속력이 느려지는 중이다. 3. $g''(x) = -\sin x$, $g^{(4)}(x) = \sin x$ (미분을 네 번 하면 원래 함수로 돌아온다). ## 관련 개념 - 도함수 — 고계도함수를 정의하기 위한 기초 개념 - 미분법 — 각 단계의 미분을 계산할 때 쓰는 규칙 - 속도와 가속도 — 이계도함수의 대표적인 활용 - 함수의 극대와 극소 — 고계도함수로 그래프의 오목·볼록을 판단하는 데 활용 - 평균값 정리 — 미분가능성과 관련된 후속 이론 --- 관련 개념: - 도함수 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%95%A8%EC%88%98) - 속도와 가속도 (/wiki/math/%EC%86%8D%EB%8F%84%EC%99%80_%EA%B0%80%EC%86%8D%EB%8F%84) - 미분법 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95) - 함수의 극대와 극소 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%EB%8C%80%EC%99%80_%EA%B7%B9%EC%86%8C) - 평균값 정리 (/wiki/math/%ED%8F%89%EA%B7%A0%EA%B0%92_%EC%A0%95%EB%A6%AC)