🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 확률변수 · 확률분포 · 정규분포 · 평균 (초등)
정의
모집단(population)은 조사하고자 하는 대상 전체의 집합이고, 모집단에서 어떤 특성을 나타내는 확률변수를 $X$라 하자. 이때 $X$의 평균 $E(X)$를 모평균, 분산 $V(X)$를 모분산, 표준편차 $\sigma(X)$를 모표준편차라 하고, 각각 기호로 $m$, $\sigma^2$, $\sigma$로 나타낸다.
모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출(주로 복원추출)하여 얻은 확률변수를 $X_1, X_2, \dots, X_n$이라 하면, 이들은 서로 독립이고 각각 모집단의 확률분포(모평균 $m$, 모분산 $\sigma^2$)를 그대로 따른다. 이때
$$\bar{X} = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$$
을 표본평균($\bar{X}$, 엑스바라 읽는다)이라 한다. 표본평균은 하나의 숫자가 아니라, 표본을 뽑을 때마다 값이 달라지는 확률변수이다.
직관
모평균은 모집단 전체를 조사해야 정확히 알 수 있는, 원칙적으로 고정된 값이다. 하지만 모집단 전체 조사는 비용·시간 문제로 불가능한 경우가 많다. 그래서 일부만 뽑아(표본) 그 평균 $\bar{X}$로 모평균 $m$을 추측하는데, 표본을 뽑을 때마다 $\bar{X}$의 값은 조금씩 달라진다. 다만 표본의 크기 $n$이 커질수록 $\bar{X}$의 값들은 $m$ 주위로 점점 더 촘촘하게 모이는데, 이 "촘촘해지는 정도"를 수치로 나타낸 것이 바로 표본평균의 분산 공식이다.
성질
모평균 $m$, 모분산 $\sigma^2$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X}$에 대해 다음이 성립한다.
또한 모집단이 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르면 표본평균 $\bar{X}$는 정확히 $N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다. 모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 $n$이 충분히 크면 $\bar{X}$는 근사적으로 $N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다.
예시
모평균 $m=60$, 모표준편차 $\sigma=10$인 모집단에서 크기 $n=25$인 표본을 임의추출하면
$n$을 $100$으로 늘리면 $\sigma(\bar{X}) = 10/\sqrt{100} = 1$로 더 좁아진다. 아래는 $n=25$일 때와 $n=100$일 때 $\bar{X}$가 따르는 정규분포의 확률밀도함수를 비교한 그래프이다(뾰족한 곡선일수록 $\bar{X}$가 $m=60$ 근처에 몰려 있음을 뜻한다).
🌍 실생활 예시
공장에서 생산된 전구의 평균 수명을 알고 싶다고 하자. 전구의 수명을 측정하려면 전구를 실제로 다 써봐야 하므로(파괴검사), 생산된 전구 전체(모집단)를 검사할 수 없다. 대신 무작위로 $n$개를 뽑아 표본평균 $\bar{X}$를 구하고, 이를 모평균의 추정값으로 사용한다. 표본의 크기를 늘리면 $\sigma(\bar{X})=\sigma/\sqrt{n}$이 작아지므로 추정이 더 정밀해지지만, 검사 비용도 함께 늘어나기 때문에 실제 품질관리에서는 표본 크기와 정확도 사이의 균형을 따져 $n$을 정한다.
⚠️ 흔한 실수
모평균과 표본평균을 같은 것으로 착각한다. 모평균 $m$은 모집단이 정해지면 고정되는 상수이지만, 표본평균 $\bar{X}$는 어떤 표본을 뽑느냐에 따라 값이 달라지는 확률변수다. "$\bar{X}$의 값 하나 = $m$"이 아니라, $\bar{X}$는 $m$을 중심으로 흩어져 분포한다.
$\sigma(\bar{X})$를 계산할 때 제곱근을 빠뜨린다. $V(\bar{X})=\sigma^2/n$까지는 맞게 구해놓고, 표준편차를 $\sigma(\bar{X})=\sigma/n$으로 잘못 쓰는 경우가 많다. 반드시 $\sigma(\bar{X})=\sqrt{\sigma^2/n}=\sigma/\sqrt{n}$임을 기억해야 한다.
표본의 합 $S=X_1+\cdots+X_n$과 표본평균 $\bar{X}$를 혼동한다. $V(S)=n\sigma^2$이지만 $V(\bar{X})=\sigma^2/n$으로, $n$이 분모와 분자에서 각각 다르게 작용한다. $\bar{X}=S/n$이므로 $V(\bar{X})=V(S)/n^2=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n$임을 직접 확인해 보면 헷갈리지 않는다.
확인 문제
모평균 $50$, 모표준편차 $8$인 모집단에서 크기 $16$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X}$의 평균과 표준편차를 구하여라.
어떤 모집단에서 크기 $n$인 표본의 표본평균의 표준편차가 $\sigma(\bar{X})=2$였다. 표본의 크기를 $4n$으로 늘리면 $\sigma(\bar{X})$는 어떻게 변하는지, 그 이유를 $\sigma(\bar{X})=\sigma/\sqrt{n}$ 공식을 이용해 설명하여라. (표본 크기를 늘리는 것이 왜 "제곱근만큼만" 효과가 있는지 생각해 보자.)
모표준편차가 $\sigma$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 뽑을 때 $V(\bar{X})=\sigma^2/n$인 이유를, $X_1, X_2, \dots, X_n$이 서로 독립임을 이용하여 설명하여라.
정답 보기
$E(\bar{X})=50$, $\sigma(\bar{X})=8/\sqrt{16}=2$.
$\sigma(\bar{X})=\sigma/\sqrt{4n}=\dfrac{\sigma}{2\sqrt{n}}$이므로 원래 값의 $\dfrac{1}{2}$, 즉 $1$이 된다. 표본 크기를 $4$배로 늘려도 표준편차는 $\sqrt{4}=2$배로만 줄어드는데, 이는 분산이 $n$에 반비례하기 때문이다(표본을 늘릴수록 정밀도가 좋아지지만 그 효과는 제곱근 비율로 점점 둔해진다).
$X_1,\dots,X_n$이 서로 독립이므로 합의 분산은 분산의 합과 같아 $V(X_1+\cdots+X_n)=n\sigma^2$이다. $\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$이므로 $V(\bar{X})=\dfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}$이 된다.