입체도형의 겉넓이(겉면 전체의 넓이)는 도형을 감싸고 있는 모든 면의 넓이를 합한 값이고, 부피(입체가 차지하는 공간의 크기)는 도형 내부의 공간을 세제곱 단위로 나타낸 값이다. 겉넓이는 $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$처럼 넓이의 단위를, 부피는 $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$처럼 부피의 단위를 쓴다.
각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구와 같은 대표적인 다면체와 회전체에 대해 겉넓이와 부피를 구하는 공식이 정해져 있다.
직관
겉넓이는 "이 도형을 종이로 만든다면 종이가 얼마나 필요할까?"를 묻는 것과 같다. 입체도형을 잘라서 평평하게 펼친 그림(전개도)을 떠올리면, 겉넓이는 결국 전개도에 있는 여러 평면도형의 넓이를 모두 더한 것이다.
부피는 "이 도형 안에 물을 부으면 얼마나 담길까?"를 묻는 것과 같다. 각기둥이나 원기둥처럼 위아래가 똑같은 모양이면 밑넓이에 높이를 곱하면 되지만, 각뿔이나 원뿔처럼 위로 갈수록 뾰족해지는 도형은 같은 밑넓이·높이를 가진 기둥의 $\dfrac{1}{3}$밖에 되지 않는다.
음료수 캔이나 저장 탱크를 설계할 때 부피와 겉넓이 공식을 함께 사용한다. 원하는 용량(부피)을 정해 놓고 반지름과 높이의 비율을 조절하면서, 겉넓이가 최소가 되는 형태를 찾으면 사용하는 금속판(재료)의 양을 줄여 제작비를 아낄 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 원기둥의 옆넓이도 밑면처럼 $\pi r^2$으로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 옆면은 원이 아니라 옆면을 펼쳤을 때 나오는 직사각형이다. 가로가 밑면 둘레($2\pi r$), 세로가 높이($h$)이므로 옆넓이는 $2\pi r \times h$가 되어야 한다.
잘못된 생각: 원뿔의 겉넓이를 구할 때 높이 $h$를 그대로 모선 $l$ 자리에 넣는다. → 왜 틀렸는가: 모선은 옆면을 이루는 빗변이므로 높이보다 길다. 피타고라스 정리로 $l=\sqrt{r^2+h^2}$를 먼저 구해야 한다.
잘못된 생각: 각뿔이나 원뿔의 부피를 밑넓이$\times$높이로만 계산하고 끝낸다. → 왜 틀렸는가: 뿔 모양은 같은 밑넓이·높이를 가진 기둥의 $\dfrac{1}{3}$이라는 사실을 잊고 $\dfrac{1}{3}$을 곱하지 않는 실수가 매우 잦다.
확인 문제
밑면의 반지름이 4cm, 높이가 9cm인 원기둥과, 밑면의 반지름과 높이가 똑같은 원뿔이 있다. 두 도형의 부피를 각각 구하고, 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 몇 분의 몇인지 확인해 보자. (같은 밑넓이·높이를 가진 뿔과 기둥의 부피 비율이 왜 항상 $1:3$인지 스스로 설명해 보면, 공식에 $\dfrac{1}{3}$이 붙는 이유를 직관적으로 이해할 수 있다.)