# 순열 분야: 확률통계 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%88%9C%EC%97%B4 --- ## 정의 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 골라 **순서 있게 나열**하는 것을 **순열**이라 하고, 그 가짓수를 $_nP_r$로 쓴다: $$_nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ 특히 $n$개 전부를 나열하는 가짓수는 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$이다. ## 직관 경우의 수의 곱의 법칙을 "자리 채우기"에 적용한 것이다. 첫 자리에 올 수 있는 것이 $n$가지, 다음 자리는 하나가 빠져 $n-1$가지, … 이렇게 $r$개의 자리를 채우면 곱셈이 자연히 나온다. 핵심은 **순서가 다르면 다른 결과**로 센다는 것 — 금·은·동 시상처럼 "누가 어느 자리인가"가 중요한 상황이 순열이다. ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 순열에서 학생들이 자주 멈추는 지점은 **"순서를 고려한다"가 정확히 무슨 뜻인가**다. 같은 사람을 뽑았어도 자리가 다르면 다른 경우로 센다는 말이다. $3$명 중 회장·부회장을 뽑을 때 "A가 회장, B가 부회장"과 "B가 회장, A가 부회장"은 뽑힌 사람은 똑같지만 역할이 달라 서로 다른 결과다. 이렇게 **자리(순서)에 이름표가 붙어 있으면 순열**이다. 이때 흔히 하는 착각이 순열과 조합을 문제 유형으로 통째 외우려는 것이다. 그보다 "뽑고 나서 자리(순서)를 구분하나?"라는 질문 하나만 던지면 된다. 회장·부회장은 자리를 구분하니 순열, 그냥 대표 $2$명은 자리 구분이 없으니 조합이다. 같은 "$2$명 뽑기"라도 이 질문의 답에 따라 가짓수가 달라진다. 한 가지 더, $n!$이 얼마나 빠르게 커지는지도 감을 잡아두면 좋다. $5$명을 한 줄로 세우는 방법이 벌써 $120$가지다. 사람이 하나 늘 때마다 앞의 결과에 그 수를 통째로 곱하기 때문에, 줄 세우기 경우의 수는 순식간에 커진다. ## 예시 - 5명 중 회장, 부회장을 뽑는 경우: $_5P_2 = 5 \times 4 = 20$가지 - 5명을 한 줄로 세우는 경우: $5! = 120$가지 - `MATH`의 네 글자로 만들 수 있는 배열: $4! = 24$가지 ## 변형 - **원순열**: 원탁에 $n$명을 앉히면 회전해서 같은 배치를 하나로 세므로 $(n-1)!$ - **중복순열**: 같은 것을 다시 골라도 되면 자리마다 $n$가지씩 $n^r$ ## 관련 개념 - 순서를 무시하고 "뽑기만" 하면 조합이 된다 — $_nP_r = {_nC_r} \times r!$ - 바탕 법칙은 경우의 수의 곱의 법칙이다 - 순열·조합의 셈은 확률 계산의 분모·분자가 된다 --- 관련 개념: - 경우의 수 (/wiki/math/%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98_%EC%88%98) - 조합 (/wiki/math/%EC%A1%B0%ED%95%A9) - 확률 (/wiki/math/%ED%99%95%EB%A5%A0)