$\overrightarrow{AB}$(반직선 AB): A에서 시작해 B 방향으로만 끝없이 늘인 것
한 점 O에서 뻗어 나온 두 반직선이 이루는 도형을 각이라 하고 $\angle AOB$(각 AOB)로 나타낸다.
작도는 눈금 없는 자(직선을 긋는 용도)와 컴퍼스(원을 그리거나 길이를 옮기는 용도), 이 두 도구만 사용해서 도형을 그리는 것을 말한다. 길이를 재는 눈금자나 각도기는 작도에서 쓸 수 없다.
직관
작도는 "도구를 최소한으로 제한해도 정확한 도형을 만들 수 있는가"를 다루는 활동이다. 눈금자는 없지만 곧은 선을 그을 수 있고, 컴퍼스는 한 점에서 같은 거리에 있는 점들(원)을 정확히 찾아 준다. 즉 컴퍼스는 "길이를 통째로 복사해서 옮기는 도구"라고 생각하면 된다. 이 두 가지만으로도 길이를 옮기거나, 각을 반으로 나누거나, 수직인 선을 만들 수 있다는 것이 기본 도형 작도의 핵심이다.
성질
자주 쓰이는 작도 방법은 다음과 같다.
선분의 길이 옮기기: 컴퍼스를 벌려 $\overline{AB}$의 길이를 재고, 그 벌린 채로 다른 직선 위의 한 점을 중심으로 원(호)을 그리면 같은 길이의 선분을 옮길 수 있다.
각의 이등분선 작도: $\angle AOB$의 꼭짓점 O를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 이번엔 P, Q를 각각 중심으로 하고 반지름이 서로 같은 두 호를 그려 그 교점 R을 잡으면, $\overrightarrow{OR}$이 각을 이등분하는 반직선이 된다.
수직이등분선 작도: $\overline{AB}$의 두 끝점 A, B를 각각 중심으로 반지름이 $\overline{AB}$의 절반보다 큰, 서로 같은 길이의 호를 그려 두 교점을 잇는다.
삼각형의 작도(SSS): 세 변의 길이가 주어지면, 한 변을 먼저 긋고 나머지 두 변의 길이를 컴퍼스로 옮겨 두 호를 그린 뒤 교점을 찾아 연결한다. 단, 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 두 호가 만나 삼각형이 만들어진다(삼각형의 결정조건).
예시
세 변의 길이가 5cm, 6cm, 9cm인 삼각형을 작도한다고 하자.
자로 길이 9cm인 선분 $\overline{BC}$를 긋는다.
컴퍼스를 5cm로 벌려 B를 중심으로 호를 그린다.
컴퍼스를 6cm로 벌려 C를 중심으로 호를 그린다.
두 호가 만나는 점 A를 찾아 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$를 그으면 삼각형 ABC가 완성된다.
이때 $5+6=11>9$이므로 두 호는 반드시 한 점에서 만나고, 삼각형이 만들어진다. 반대로 변의 길이가 2cm, 3cm, 6cm라면 $2+3=5<6$이라서 두 호가 만나지 못해 삼각형을 작도할 수 없다.
🌍 실생활 예시
목공이나 제도(製圖) 작업에서 각도기 없이 정확한 직각을 표시할 때 수직이등분선 작도 원리가 쓰인다. 나무판 위 두 점을 잇는 선의 수직이등분선을 컴퍼스로 작도하면, 자를 대고 눈으로 어림잡는 것보다 훨씬 정확하게 직각을 얻을 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 작도할 때 눈금자로 길이를 재거나 각도기로 각을 재도 된다. → 왜 틀렸는가: 작도의 정의 자체가 "눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용"이다. 길이를 직접 재는 순간 그것은 작도가 아니라 그냥 그림이 된다.
잘못된 생각: 세 변의 길이만 주어지면 항상 삼각형을 작도할 수 있다. → 왜 틀렸는가: 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 크거나 같으면 두 호가 만나지 않아 삼각형이 만들어지지 않는다. 예를 들어 2cm, 3cm, 6cm는 삼각형이 되지 않는다.
잘못된 생각: 각의 이등분선을 작도할 때 P, Q를 중심으로 그리는 두 호의 반지름을 아무렇게나 다르게 잡아도 된다. → 왜 틀렸는가: 두 호의 반지름이 서로 다르면 교점 R이 각을 정확히 반으로 나누는 위치에 오지 않는다. 반드시 같은 반지름으로 그려야 한다.
확인 문제
세 변의 길이가 각각 4cm, 5cm, 10cm인 삼각형을 작도하려고 한다. 작도가 가능한지 판단하고, 왜 그런지 두 호를 그리는 과정을 떠올리며 설명하시오.
$\overline{AB}$의 수직이등분선을 작도할 때, A와 B를 중심으로 그리는 두 호의 반지름이 왜 $\overline{AB}$의 절반보다 커야 하는지 설명하시오.
$\angle XOY$가 60°일 때, 각의 이등분선 작도법을 이용하면 몇 도짜리 각을 얻게 되는지 말하시오.
정답 보기
작도가 불가능하다. 가장 긴 변 10cm가 나머지 두 변의 합 $4+5=9$(cm)보다 크므로, B와 C를 중심으로 그린 두 호가 만나지 않는다.
두 호의 반지름이 $\overline{AB}$의 절반 이하이면 A를 중심으로 한 호와 B를 중심으로 한 호가 서로 만나지 못해 교점을 얻을 수 없기 때문이다.
30°. 각의 이등분선은 원래 각을 정확히 절반으로 나누므로 $60° \div 2 = 30°$이다.