문제
길이가 100 m인 곧은 길의 양 끝을 포함해 5 m 간격으로 나무를 심으려고 한다. 나무는 몇 그루 필요한가?
🔑 핵심 아이디어
나무를 세지 말고 간격을 먼저 센다. 간격은 나눗셈으로 바로 나오고, 나무의 수는 거기에 1을 더하면 된다.
$$(\text{간격 수}) = \frac{100}{5} = 20, \qquad (\text{나무 수}) = 20 + 1 = 21$$
$$\boxed{(\text{점의 수}) = (\text{간격 수}) + 1}$$
풀이
1단계 — 간격의 개수. 100 m를 5 m씩 나누므로 $100 \div 5 = 20$개의 간격이 생긴다.
2단계 — 점의 개수. 양 끝에 모두 나무를 심으므로 나무는 간격보다 하나 많다.
$$20 + 1 = 21 \text{ (그루)}$$
답은 21그루다.
왜 그렇게 되나
작은 경우를 직접 그려 보면 규칙이 바로 보인다. 길이 10 m, 간격 5 m라면
나무 ●─────●─────●
거리 0 5 10
간격 1 2
간격은 2개인데 나무는 3그루다. 손가락 사이가 4개인데 손가락은 5개인 것과 같은 이치다.
핵심은 간격은 "사이"를 세고, 나무는 "점"을 센다는 것이다. 사이는 점보다 언제나 하나 적다 — 단, 줄이 한 줄로 열려 있을 때만 그렇다. 양 끝을 이어 원으로 만들면 시작과 끝이 같은 점이 되어 간격 수와 점의 수가 같아진다.
| 상황 | 점의 수 |
|---|---|
| 양 끝에 모두 심는다 | 간격 수 $+\ 1$ |
| 한쪽 끝에만 심는다 | 간격 수 |
| 양 끝에 심지 않는다 | 간격 수 $-\ 1$ |
| 원 둘레에 심는다 | 간격 수 |
외울 것은 표가 아니라 작게 그려 보는 습관이다. 3~4개짜리 그림 하나면 어느 줄인지 매번 확인할 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
나눗셈 결과를 그대로 답으로 쓰기. $100 \div 5 = 20$은 간격의 수이지 나무의 수가 아니다. 이 유형에서 가장 많이 나오는 오답이다.
끝 조건을 확인하지 않기. "양 끝에 심는다"인지 "한쪽에만"인지 "원형인지"에 따라 $+1$, $+0$, $-1$이 갈린다.
양쪽에 심는 경우를 놓치기. 길 양쪽에 심으면 답이 두 배가 된다.
변형 문제
(1) 통나무 자르기. 10 m짜리 통나무를 2 m씩 자르면 조각은 5개, 자르는 횟수는 $5 - 1 = 4$번이다. 여기서는 조각이 간격, 자른 자리가 점이다. 한 번 자르는 데 3분이 걸린다면 총 12분이다.
(2) 종 치기. 시계가 6시에 종을 6번 치는 데 10초가 걸렸다면, 소리와 소리 사이는 5번이므로 한 간격은 2초다. 12시에 12번 치면 간격이 11개이므로 22초가 걸린다. 20초가 아니다.
(3) 계단. 1층에서 3층까지 오르는 데 30초가 걸렸다면, 오른 층 사이는 2개이므로 한 층에 15초다. 1층에서 6층까지는 사이가 5개이므로 75초다.
(4) 원형 화단. 둘레 100 m인 원에 5 m 간격으로 심으면 20그루다. 시작점과 끝점이 같은 자리라 $+1$이 없다.